题目内容
【题目】万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。
(1)用弹簧测力计称量一个相对地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球的质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数为F0，若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，若在赤道地面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值
的表达式和比值
的表达式。
(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r，太阳的半径RS和地球半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长。
【答案】(1)
，
；(2)1年
【解析】
(1)设小物体质量为m，在北极地面
在北极上空高出地面h处
在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有
得
(2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受太阳得万有引力。设太阳得质量为
，地球得质量为M，地球公转周期为TE，有：
解得
其中
为太阳得密度。由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳得密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关。因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同。
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