Question

3．如图所示，在粗糙的水平面上有一静止的木板B，质量为M=1kg；在其左端有一小物块A，质量为m=2kg；已知A、B间的动摩擦因数μ₁=0.4，B与地面间的动摩擦因数为μ₂=0.2，从t=0时刻开始，在A上作用F₁=18N的水平向右的恒力，经过t₁=3s的时间，变为水平向右的恒力F₂=6N，作用t₂=2s的时间后撤去外力作用，物块A恰好不从B上掉下来．求：
（1）力F₁作用的t₁=3s的时间内，物块A和木板B的加速度a_A、a_B各为多大？
（2）木板B在整个运动过程中的位移x_B是多大？
（3）木板B的长度L．

Answer 1

分析 （1）分别分析AB两个物体受力情况，由牛顿第二定律得出．
（2）需先求出撤去力后B又运动的距离，然后再加上前5s的距离即可．需注意全程A的加速度不变．
（3）分别找到全程A和B的位移，然后用A的位移减去B的位移即可．

解答 解：（1）分别对A和B进行受力分析
A水平方向上受向右的力F₁和B对A的水平向左的滑动摩擦力f_BA，由牛顿第二定律F=ma，即F₁-f_BA=ma_A，又f_BA=μ₁mg=8N，联立①②代入数据得：${a}_{A}=5m/{s}^{2}$．
B水平方向上受向右的A对B的滑动摩擦力f_AB和地面对B向左的滑动摩擦力f_地，由牛顿第二定律F=ma，即：f_AB-f_地=Ma_B，又f_地=μ₂（m+M）g=6N，f_BA=f_AB=8N，代入数据解得：${a}_{B}=2m/{s}^{2}$
（2）A相对于B滑动的过程中，B的受力始终不变，即加速度始终为a_B，设F₂撤去后又经时间t₃A滑到B的右端
3s末，A的速度为v_A=a_At₁=15m/s，B的速度为v_B=a_Bt₁=6m/s，此后A继续相对与B向右滑动
当F₂=6N后，A所受合外力向左，设其加速度大小为a_A′，由牛顿第二定律得：${a}_{A}′=\frac{{f}_{BA}-{F}_{2}}{m}=1m/{s}^{2}$，所以经t₂后物体A的速度v_A′=v_A-a_A′t₂=12m/s，此时B的速度v_B′=v_B+a_Bt₂=10m/s，所以经t₂撤去外力后，A继续相对B向右滑动，此时A的加速度方向向左，大小为${a}_{A}″=\frac{{μ}_{1}mg}{m}={μ}_{1}g=4m/{s}^{2}$
B仍做匀加速直线运动，当滑到最右端时A和B速度相同，即12-a_A″t=6+a_Bt，解得t=1s
所以木板B在整个运动过程中的位移$x=\frac{1}{2}{a}_{B}（{t}_{1}+{t}_{2}+t）^{2}$=36m．
（3）设整个运动过程中A相对地面的位移为x_A，所以木板B的长度L=x_A-x_B
其中t₁时间内A的位移为${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{A}$${t}_{1}^{2}$=22.5m
t₂时间内A的位移为${x}_{2}={v}_{A}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{A}′$${t}_{2}^{2}$=28m
t时间内A的位移为${x}_{3}={v}_{A}′t-\frac{1}{2}{a}_{A″}{t}^{2}$=10m
所以A的位移x_A=x₁+x₂+x₃=60.5m
所以木板B的长度L=x_A-x_B=60.5-36=24.5m
答：（1）力F1作用的t₁=3s的时间内，物块A和木板B的加速度分别为5m/s²和2m/s²．
（2）木板B在整个运动过程中的位移为36m．
（3）木板B的长度L为24.5m．

点评 此题的难点在于分多个过程分析A的加速度情况，较繁琐，学生在分析受力时较易出错．