Question

8．如图所示，两电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角θ，导轨间距L，所在平面的正方形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直斜面向上．将甲乙两个电阻相同、质量均为m的相同金属杆如图放置在导轨上，甲金属杆处在磁场的上边界，甲乙相距L．从静止释放两金属杆的同时，在甲金属杆上施加一个沿着导轨的外力F，使甲金属杆始终沿导轨向下做匀加速直线运动，加速度大小为gsinθ，乙金属杆刚进入磁场时作匀速运动．
（1）求金属杆乙刚进入磁场时的速度．
（2）自刚释放时开始计时，写出从开始到甲金属杆离开磁场，外力F随时间t的变化关系，并说明F的方向．
（3）若从开始释放到乙金属杆离开磁场，乙金属杆中共产生热量Q，试求此过程中外力F对甲做的功．

Answer 1

分析 （1）甲、乙匀加速运动时加速度相同，当乙通过位移l进入磁场时，甲刚出磁场，由动能定理求出乙进入磁场时的速度．
（2）乙金属杆刚进入磁场时做匀速运动，根据平衡条件求解电阻R；从刚释放金属杆时开始计时，由于甲的加速度大小a=gsinθ，外力与安培力大小相等，由速度公式得出速度与时间的关系式，根据安培力的表达式得出外力与时间的关系式．
（3）从开始释放两杆到乙金属杆离开磁场，乙进入磁场前，甲、乙发出相同热量，导体棒克服安培力做功等于回路产生的热量．甲出磁场以后，外力F为零，乙在磁场中，安培力大小等于重力沿斜面向下的分力，甲、乙发出相同热量，根据功能关系得出回路产生的热量，根据总热量等于Q，求出外力做功．

解答 解：（1）由题，甲、乙匀加速运动时加速度相同，所以，当乙进入磁场时，甲刚出磁场，乙进入磁场，根据动能定理可得：
mglsinθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{2glsinθ}$；
（2）根据平衡条件有$mgsinθ=\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$，
解得：R=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2glsinθ}}{2mgsinθ}$；
甲在磁场中运动时，外力F始终等于安培力F=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$，
根据匀变速直线运动速度时间关系可得：v=gsinθ•t
联立解得：F=$\frac{m{g}^{2}si{n}^{2}θ}{\sqrt{2glsinθ}}•t$，方向沿导轨向下；
（3）乙进入磁场前，甲、乙发出相同热量，设为Q₁，则有 F_安l=2Q₁
又F=F_安
故外力F对甲做的功W_F=Fl=2Q₁
甲出磁场以后，外力F为零，乙在磁场中，甲、乙发出相同热量，设为Q₂，则有
F_安′l=2Q₂
又F_安′=mgsinθ
又Q=Q₁+Q₂
解得：W_F=2Q-mglsinθ．
答：（1）金属杆乙刚进入磁场时的速度为$\sqrt{2glsinθ}$．
（2）自刚释放时开始计时，写出从开始到甲金属杆离开磁场，外力F随时间t的变化关系为F=$\frac{m{g}^{2}si{n}^{2}θ}{\sqrt{2glsinθ}}•t$，方向沿导轨向下．
（3）若从开始释放到乙金属杆离开磁场，乙金属杆中共产生热量Q，则此过程中外力F对甲做的功为2Q-mglsinθ．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．