Question

4．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第二象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴负方向．在第一、四象限内有一个圆，圆心O′坐标为（r，0），圆内有方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（不计粒子所受的重力），从P （-2h，h）点，以大小为v₀的速度沿平行于x轴正方向射入电场，通过坐标原点O进入第四象限，又经过磁场从x轴上的Q点离开磁场．求：
（1）电场强度E的大小；
（2）圆内磁场的磁感应强度B的大小；
（3）带电粒子从P点进入电场到从Q点射出磁场的总时间t．

Answer 1

分析 （1）由类平抛运动规律，根据横向、纵向位移求解即可；
（2）由类平抛运动规律求得粒子进入磁场的速度大小及方向；根据粒子运动轨迹求得粒子运动半径，最后，根据洛伦兹力做向心力即可求得B；
（3）由类平抛运动规律求得粒子在电场中的运动时间，再由粒子运动轨迹求得粒子在磁场中转过的圆心角，然后求得粒子做圆周运动的周期即可求得粒子在磁场中的运动时间，进而求得总时间．

解答 解：（1）带电粒子在电场中只受电场力的作用．电场力方向与v₀垂直，所以，粒子做类平抛运动，则有：
水平方向：2h=v₀t₁；竖直方向：$h=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{{t}_{1}}^{2}$；
所以，$E=\frac{2mh}{q{{t}_{1}}^{2}}=\frac{2mh}{q•（\frac{2h}{{v}_{0}}）^{2}}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$；
（2）粒子进入磁场时沿y轴方向的速度${v}_{y}=a{t}_{1}=\frac{2h}{{t}_{1}}={v}_{0}$；粒子进入磁场时的速度$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$；
粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动，所以有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$；
因为粒子通过坐标原点O进入第四象限，又经过磁场从x轴上的Q点离开磁场，
根据v的方向及圆弧关于圆心的对称性，由几何关系可知$R=\sqrt{2}r$；
所以，$B=\frac{mv}{qR}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{\sqrt{2}qr}=\frac{m{v}_{0}}{qr}$；
（3）由（1）可知，粒子在电场中运动的时间${t}_{1}=\frac{2h}{{v}_{0}}$；
由（2）可知，粒子在磁场中转过的圆心角$θ=2arcsin\frac{r}{R}=2arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}=90°$，所以，粒子在磁场中的运动的时间${t}_{2}=\frac{1}{4}T$；
粒子在磁场中做圆周运动的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πr}{{v}_{0}}$，所以，${t}_{2}=\frac{1}{4}T=\frac{πr}{2{v}_{0}}$；
所以，粒子从P点进入电场到Q点射出磁场的总时间$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4h+πr}{{2v}_{0}}$．
答：（1）电场强度E的大小为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$；
（2）圆内磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{m{v}_{0}}{qr}$；
（3）带电粒子从P点进入电场到从Q点射出磁场的总时间t为$\frac{4h+πr}{2{v}_{0}}$．

点评 求带电粒子在磁场中的运动问题，根据粒子运动的弦可以充分运用圆弧的特性来求解粒子运动的半径．