题目内容
【题目】利用电场和磁场，可以将比荷不同的离子分开，这种方法在化学分析和原子核技术等领域有重要的应用．如图所示的矩形区域ACDG（AC边足够长）中存在垂直于纸面的匀强磁场，A处有一狭缝．离子源产生的离子，经静电场加速后穿过狭缝沿垂直于GA边且垂直于磁场的方向射入磁场，一段时间后运动到GA边，被相应的收集器收集．整个装置内部为真空．已知被加速的两种正离子的质量分别是m1和m2（m1＞m2），电荷量均为q．加速电场的电势差为U，离子进入电场时的初速度可以忽略．不计重力，也不考虑离子间的相互作用．
（1）若忽略狭缝的宽度，当磁感应强度的大小为 B 时，求两种离子在 GA 边落点的间距 x；
（2）若狭缝宽度不能忽略，狭缝过宽可能使两束离子在 GA 边上的落点区域交叠，导致两种离子无法完全分离．设磁感应强度大小可调，GA 边长为定值 L，狭缝宽度为 d，狭缝右边缘在 A 处．离子可以从狭缝各处射入磁场，入射方向仍垂直于 GA 边且垂直于磁场．为保证上述两种离子能落在 GA 边上并被完全分离，求狭缝的最大宽度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
(1)离子在匀强磁场中将做匀速圆周运动，此时向心力提供洛伦兹力，由带电离子在磁场中运动的半径公式可分别求出质量为m1、m2的粒子的轨迹半径，两个轨迹的直径之差就是离子在GA边落点的间距。(2)由题意画出草图，通过图找出两个轨迹因宽度为d狭缝的影响，从而应用几何知识找出各量的关系，列式求解。
（1）由动能定理得
解得
①
由牛顿第二定律
如图所示
利用①式得离子在磁场中的轨道半径为别为
，
②
两种离子在GA上落点的间距
③
( 2)质量为m1的离子，在GA边上的落点都在其入射点左侧2R1处，由于狭缝的宽度为d ，因此落点区域的宽度也是d。同理，质量为m2的离子在GA边上落点区域的宽度也是d。如图
为保证两种离子能完全分离，两个区域应无交叠，条件为
④
利用②式带入④得
R1的最大值满足
得
求最大值
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