Question

1．如图所示，一光滑$\frac{1}{4}$圆弧轨道BC竖直放置，轨道圆心A与轨道端点C在同一竖直线上，D到AC两点的距离相等．从A点水平抛出一小球1，同时再从A．B两点由静止释放同样的小球2和3，小球1恰击中D点，以下说法正确的有（　　）

• A． 1、3两球可能在D点相碰
• B． 1球可能垂直撞击圆弧
• C． 1、2两球在空中运动的时间之比为1：$\sqrt{2}$
• D． 因1球初速度未知，1、2两球直接碰到D、C两点的速率之比无法计算

Answer 1

分析 1球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，分析3球竖直方向的受力情况，比较其竖直分加速度与g的关系，从而分析1、3两球运动时间关系，即可判断它们能否在D点相碰．根据平抛运动的推论：速度的反向延长线交水平位移的中点，分析1球能否垂直撞击圆弧．根据运动学公式分析1、2两球在空中运动的时间之比．根据机械能守恒定律分析1、2两球直接碰到D、C两点的速率之比．

解答 解：A、1球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，加速度为g．3球沿圆弧轨道下滑的过程中，受到重力和轨道的支持力，轨道的支持力指向A点，有竖直向上的分力，所以3球在竖直方向的合力小于重力，竖直分加速度小于重力加速度g，3球运动到D点的时间比1球的长，所以1球击中D点时，3球还没有到达D点，两者不会相碰，故A错误．
B、根据平抛运动的推论：速度的反向延长线交水平位移的中点，知小球1击中D点时水平位移的中点不在圆心A，所以1球不会垂直撞击圆弧，故B错误．
C、设圆弧轨道的半径为R．据题知：△ACD是等边三角形，则：
对1球有：$\frac{1}{2}$R=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$
对2球有：R=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$，联立解得 t₁：t₂=1：$\sqrt{2}$，故C正确．
D、根据机械能守恒定律得：
对1球有：m₁g•$\frac{1}{2}$R+$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$
根据平抛运动的规律有 
   $\frac{1}{2}$R=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$R=v₀t₁．
联立可得：1球直接碰到D点时的速率 v₁=$\frac{\sqrt{7gR}}{2}$
对2球有：m₂gR=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
得2球直接碰到C点时的速率 v₂=$\sqrt{2gR}$
由上可知能求出1、2两球直接碰到D、C两点的速率之比．故D错误．
故选：C

点评 决本题的关键是要掌握平抛运动的研究方法：运动的分解法，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律．对平抛运动的速度也可以根据机械能守恒定律或动能定理研究．