Question

宇宙间存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到的四星系统存在着一种基本的构成形式是：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，第四颗星位于圆形轨道的圆心处，已知圆形轨道的半径为R，每颗星体的质量均为m．求：
（1）中心星体受到其余三颗星体的引力的大小；
（2）三颗星体沿圆形轨道运动的线速度和周期．

Answer 1

分析：（1）作出中心天体与其余三颗星体的位置关系，由图可知，中心星体受到其余三颗星体的引力大小相等，方向互成120⁰．
据力的合成法则，中心星体受到其他三颗星体的引力的合力为零．
（2）对圆形轨道上任意一颗星，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
G

m?m

R2

+2G

m?m

r2

?cos300=m

v2

R

由几何关系可知，r=2R?cos30°
由次可解得三颗星体运动的线速度v．
则可解得三颗星运动的周期T=

2πR

v

．

解答：解：（1）中心星体受到其余三颗星体的引力大小相等，方向互成120⁰．
据力的合成法则，中心星体受到其他三颗星体的引力的合力为零．
（2）对圆形轨道上任意一颗星，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
G

m?m

R2

+2G

m?m

r2

?cos300=m

v2

R

又因为r=2R?cos30°
由以上两式可得三颗星体运动的线速度为：v=

(1+ 3 )Gm 3 R

三颗星运动的周期为：T=

2πR

v

=2πR

3 R (1+ 3 )Gm

答：（1）中心星体受到其余三颗星体的引力的大小为零；
（2）三颗星体沿圆形轨道运动的线速度为

(1+ 3 )Gm 3 R

，周期为2πR

3 R (1+ 3 )Gm

．

点评：本题关键势能正确的画出中心星体与其余三颗星体的空间位置关系，根据几何关系确定向心力的来源．