Question

【题目】如图，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OCA=30°，OA的长度为L。在△OCA区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以平行于y轴的方向从OA边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂直于OC边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t0。不计重力。

①求磁场的磁感应强度的大小；
②若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从OC边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和；
③若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC边相切，且在磁场内运动的时间为 ，求粒子此次入射速度的大小。

Answer 1

【答案】解：①粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间 内其速度方向改变了 ，故其周期： ①设磁感应强度大小为B，粒子速度为 v ，圆周运动的半径为 r ，由洛伦兹力公式和牛顿定律得：
②
匀速圆周运动的速度满足： ③
联立①②③式得： ④
②设粒子从OA变两个不同位置射入磁场，能从OC边上的同一点P射出磁场，粒子在磁场中运动的轨迹如图（a）所示：

设两轨迹所对应的圆心角分别为 和 。由几何关系有： ⑤粒子两次在磁场中运动的时间分别为 t1 与 t2 ，则： ⑥③如图（b），由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹圆弧对应的圆心角为 。设 为圆弧的圆心，圆弧的半径为 r0 ，圆弧与AC相切与B点，从D点射出磁场，由几何关系和题给条件可知，此时有
⑦

⑧
设粒子此次入射速度的大小为 v0 ，由圆周运动规律： ⑨
联立①⑦⑧⑨式得：
⑩
【解析】（1）粒子垂直OA进入磁场中，转过90°，垂直打在y轴上，则 ，求出周期，由周期公式T= 求B的大小．（2）画出两个粒子的运动轨迹，设轨迹所对应的圆心角分别为θ1和θ2 ， 由几何关系有θ1=180°-θ2 ， 可得到时间之和等于 ．（3）根据圆周运动知识知道，两粒子在磁场中运动的时间差△t与△θ=θ2-θ1成正比，只要求出△θ的最大值，即可求得θ2的最大值．由△t= T和已知条件△tmax= ，联立可求出θ2的最大值，再结合几何知识求出轨迹的半径，由牛顿第二定律，利用洛伦兹力等于向心力，列式求解速度．