题目内容
荡秋千是大家喜爱的一项体育活动．随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣．假设你当时所在星球的质量为M，半径为R，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于900，若经过最低位置的速度为v0．万有引力常量为G．
（1）该星球的第一宇宙速度是多少？
（2）该星球表面附近的重力加速度g是多少？
（3）摆动过程中，你能上升的最大高度是多少？
（4）若你的质量是m秋千摆长，经过最低位置时你对秋千的压力是多大？
（1）该星球的第一宇宙速度是多少？
（2）该星球表面附近的重力加速度g是多少？
（3）摆动过程中，你能上升的最大高度是多少？
（4）若你的质量是m秋千摆长，经过最低位置时你对秋千的压力是多大？
分析：（1）第一宇宙速度的大小等于贴近星球表面做匀速圆周运动的速度大小，根据万有引力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．
（2）根据万有引力等于重力求出星球表面的重力加速度．
（3）根据机械能守恒定律求出上升的最大高度．
（4）根据在最低点合力提供向心力求出支持力的大小，从而根据牛顿第三定律得出对秋千的压力大小．
（2）根据万有引力等于重力求出星球表面的重力加速度．
（3）根据机械能守恒定律求出上升的最大高度．
（4）根据在最低点合力提供向心力求出支持力的大小，从而根据牛顿第三定律得出对秋千的压力大小．
解答：解：（1）设质量为m的卫星围绕星球表面飞行速度为v，万有引力提供向心力
G
=m
解得v=
（2）设物体的质量为m，在星球表面附近的重力等于万有引力
G
=mg
解得g=
（3）设人的质量为m，能上升的最大高度为h，由机械能守恒定律得
mgh=
mv02
解得h=
．
（4）经过最低点时，秋千的支持力F和人的重力G提供向心力，
有：F-mg=m
解得F=m(
+
)
由牛顿第三定律得，F压=F=m(
+
)．
答：（1）该星球的第一宇宙速度是v=
．
（2）该星球表面附近的重力加速度g=
（3）能上升的最大高度是h=
．
（4）经过最低位置时你对秋千的压力是m(
+
)．
G
| Mm |
| R2 |
| v2 |
| R |
解得v=
|
（2）设物体的质量为m，在星球表面附近的重力等于万有引力
G
| Mm |
| R2 |
解得g=
| GM |
| R2 |
（3）设人的质量为m，能上升的最大高度为h，由机械能守恒定律得
mgh=
| 1 |
| 2 |
解得h=
| R2v02 |
| 2GM |
（4）经过最低点时，秋千的支持力F和人的重力G提供向心力，
有：F-mg=m
| v02 |
| l |
解得F=m(
| GM |
| R2 |
| v02 |
| l |
由牛顿第三定律得，F压=F=m(
| GM |
| R2 |
| v02 |
| l |
答：（1）该星球的第一宇宙速度是v=
|
（2）该星球表面附近的重力加速度g=
| GM |
| R2 |
（3）能上升的最大高度是h=
| R2v02 |
| 2GM |
（4）经过最低位置时你对秋千的压力是m(
| GM |
| R2 |
| v02 |
| l |
点评：本题考查了万有引力与机械能守恒和牛顿第二定律的综合，掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．
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