Question

月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，其运行周期约为27天．现应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多高时，人造地球卫星可随地球一起转动，就像其停留在天空中不动一样．若两颗人造卫星绕地球做圆周运动，周期之比为1∶8，则它们轨道半径之比是多少？(已知R_地＝6.4×10³ km)

Answer 1

3.63×10⁴ km　1∶4

月球和人造地球卫星都在环绕地球运转，根据开普勒第三定律，它们运行轨道的半径的三次方跟圆周运动周期的二次方的比值都是相等的．设人造地球卫星运动的半径为R，周期为T＝1天，根据开普勒第三定律有：＝k，同理设月球轨道半径为R′，周期为T′，也有＝k
由以上两式可得＝
R＝＝＝6.67R_地
在赤道平面内离地面高度
H＝R－R_地＝6.67R_地－R_地＝5.67R_地
＝5.67×6.4×10³ km＝3.63×10⁴ km.
由开普勒第三定律：＝
又因为T₁∶T₂＝1∶8，解得R₁∶R₂＝1∶4.