Question

6．我国将在2017年前后发射一颗返回式月球软着陆器，进行首次月球样品自动取样并安全返回地球．假设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的M点，并沿水平方向以初速度v₀=16m/s，抛出一个质量为m=1kg的小球，测得小球经时间15s落到斜坡上另一点N，斜面的倾角为α=37°，已知月球半径为R=1600km，月球的质量分布均匀，万有引力常量为G=6.67×10^-11Nm²/kg²，求：
（1）月球表面的重力加速度g′；
（2）人造卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度．（已知tan37°=$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 （1）小球做平抛运动，水平位移x=υ₀t，竖直位移y=$\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$，再根据几何关系即可求得该星球表面的重力加速度g；
（2）该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供，该星球表面物体所受重力等于万有引力，联立方程即可求出该星球的第一宇宙速度υ；

解答 解：（1）平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和自由落体运动
水平方向：${v}_{0}^{\;}t=Lcosα$；　
竖直方向：$\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}=Lsinα$；  
联立得$g′=\frac{2{v}_{0}^{\;}tanα}{t}$=1.6m/s²
（2）根据万有引力提供向心力，有
$mg′=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v′=\sqrt{g′R}=\sqrt{1.6×1.6×1{0}_{\;}^{3}}=1.6×1{0}_{\;}^{3}$m/s
答：（1）月球表面的重力加速度g′为$1.6m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）人造卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度$1.6×1{0}_{\;}^{3}m/s$

点评 该题主要考查了平抛运动的相关知识，要求同学们能熟练掌握平抛运动的基本公式，难度适中．