Question

（2007?淮安模拟）我国已启动“嫦娥工程”，并于2007年10月24日成功发射绕月运行的探月卫星“嫦娥Ⅰ号”．设该卫星可贴近月球表面运动且轨道是圆形的，已知地球半径约是月球半径的4倍，地球质量约是月球质量的81倍，地球近地卫星的周期约为84min，地球表面重力加速度g取10m/s²，求：
（1）绕月表面做匀速圆周运动的“嫦娥Ⅰ号”，其运动周期约是多大？
（2）设想宇航员在月球表面上做自由落体实验，某物体从离月球表面20m处自由下落，约经多长时间落地？

Answer 1

分析：1、地球近地卫星受地球的万有引力提供向心力

GMm

R2

=m(

2π

T0

)2R，探月卫星它受月球的万有引力提供向心力

GM1m1

R12

=m1(

2π

T1

)2R1，两式相比，可以求出“嫦娥Ⅰ号”的运动周期T₁．
2、根据星球表面的物体受到的重力等于万有引力，在地球上有mg=G

Mm

R2

，在月球上有m1g1=G

M1m1

R12

，两式相比，计算出月球表面重力加速度g₁．再根据自由落体运动的规律h=

1

2

at12，可计算出落体运动的时间．

解答：解：设地球质量为M，半径为R，近地卫星的质量为m，周期为T₀，它受地球的万有引力提供向心力，则

GMm

R2

=m(

2π

T0

)2R
设月球质量为M₁，半径为R₁，探月卫星的质量为m₁，周期为T₁，它受月球的万有引力提供向心力，则

GM1m1

R12

=m1(

2π

T1

)2R1

T1

T0

=

M  M1 ?( R1 R  )3

=

81 1 × 1 64

=

9

8

T₁=94.5min
（2）设地球表面重力加速度g，月球表面重力加速度g₁，自由下落高度为h，
根据星球表面的物体受到的重力等于万有引力，在地球和月球上都有
mg=G

Mm

R2

m1g1=G

M1m1

R12

下式比上式得：

g1

g

=

M1

M

?(

R

R1

)2=

1

81

×

16

1

所以g1=

160

81

m/s2
根据自由落体运动的规律
h=

1

2

at12
t1=

2h  g1

=

2×20 160 81

s=4.5s
答：（1）绕月表面做匀速圆周运动的“嫦娥Ⅰ号”，其运动周期约是94.5min．
（2）设想宇航员在月球表面上做自由落体实验，某物体从离月球表面20m处自由下落，约经4.5s落地．

点评：本题要求掌握天体运动中两个重要的关系；①环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动所需要的向心力由万有引力提供，②星球表面的物体受到的重力等于万有引力．同时还要知道自由落体运动的规律．