Question

11．如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管固定子啊竖直平面内，其中A、B为最高、最低点、两个质量均为m的小球a、b以不同的速率水平向右从B点进入管内，a球通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg；b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，求：
（1）a、b两球落地点间的距离
（2）a、b两球落地时的速率之比．

Answer 1

分析 对两个球分别受力分析，根据合力提供向心力，求出速度，此后球做平抛运动，正交分解后，根据运动学公式列式求解即可．
由动能定理分别对两球进行分析，则可求得落地时的速率之比．

解答 解：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．
对A球：3mg+mg=m$\frac{v_A^2}{R}$
解得
v_A=$\sqrt{4gR}$
对B球：mg-0.75mg=m$\frac{v_B^2}{R}$
解得
v_B=$\sqrt{\frac{1}{4}gR}$
由平抛运动规律可得落地时它们的水平位移为：
s_A=v_At=v_A$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=4R
s_B=v_Bt=v_B$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=R
解得：s_A-s_B=3R
即a、b两球落地点间的距离为3R
（2）小球落地时的速度分别设为v_a'，v_b'；则有：
$\frac{1}{2}$mv_a′²-$\frac{1}{2}$mv_a²=mg2R
$\frac{1}{2}$mv_b′²-$\frac{1}{2}$mv_b²=mg2R
解得：$\frac{{v′}_{a}}{v{′}_{b}}$=$\sqrt{\frac{32}{17}}$
答：（1）a、b两球落地点间的距离为3R；
（2）a、b两球落地时的速率之比为$\sqrt{\frac{32}{17}}$

点评 本题关键是对小球在最高点处时受力分析，然后根据向心力公式和牛顿第二定律求出平抛的初速度，最后根据平抛运动的分位移公式列式求解．