题目内容

9．如图甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径都为0.3m的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管（细圆管内径略大于小球的直径），分别与上下圆弧轨道相切连接，BC段的长度L为0.2m．下圆弧轨道与光滑水平地面轨道相切，其中D、A分别是上下圆弧轨道的最高点与最低点，整个轨道固定在竖直平面内．小球以一定的初速度从A点水平进入轨道（计算结果可以用根式表示）

（1）如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出，求落地点与D点的水平距离
（2）如果小球能从D点以5m/s的速度水平飞出，求小球在BC段运动的时间
（3）如果在D点右侧平滑连接一半径R=0.4m的半圆形光滑轨道DEF，如图乙所示，要使小球在运动过程中能不脱离轨道，求初速度大小的范围．

分析 （1）由平抛运动规律可求得落地点与D点的水平距离；
（2）根据机械能守恒定律可求得B点和C点的速度，BC段为竖直上抛运动，由平抛运动规律可求得BC段的平均速度，再由速度公式可求得运动时间；
（3）要使小球不脱离轨道，则小球可能由D点返因A点，也可能超过D点后沿DEF轨道回到A点，则可知初速度的范围．

解答 解：（1）由平抛运动规律可得：
h=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$
得t1=0.4s
由x=v0t1
得x=2m；
（2）由B到D由机械能守恒定律可得：
mghBD+$\frac{1}{2}$mvD2=$\frac{1}{2}$mvB2
由C到D由机械能守恒定律可得：
mghCD+$\frac{1}{2}$mvD2=$\frac{1}{2}$mvC2
BC段的平均速度$\overline{v}$=$\frac{{v}_{B}+{v}_{c}}{2}$
小球经过BC段的时间t=$\frac{{h}_{BC}}{\overline{v}}$
联立解得：
t=0.02s；
（3）计论一：
小球进入轨道最高运动到C点，之后原路返回，由机械能守恒定律，有：
mghAC=$\frac{1}{2}$mv12
得v1=$\sqrt{10}$m/s
讨论二：小球进入轨道后恰好能通过圆弧最高点D，之后沿DEF运动而不脱离轨道，在D点，有mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由机械能守恒定律可得：
有：mghAD+$\frac{1}{2}$mv2=$\frac{1}{2}$mv22
得v2=2$\sqrt{5}$m/s
所以要使小球在运动过程中能不脱离轨道，初速度大小的范围为：
v1$≤\sqrt{10}$m/s或v2$≥2\sqrt{5}$m/s
答：（1）如果小球从D点以5m/s的速度水平飞出，落地点与D点的水平距离为2m
（2）如果小球能从D点以5m/s的速度水平飞出，小球在BC段运动的时间为0.02s；
（3）如果在D点右侧平滑连接一半径R=0.4m的半圆形光滑轨道DEF，如图乙所示，要使小球在运动过程中能不脱离轨道，初速度大小的范围v1$≤\sqrt{10}$m/s或v2$≥2\sqrt{5}$m/s

点评 本题考查机械能守恒定律的应用以及平抛运动规律的应用，要注意正确分析物理过程，正确进行受力分析，再通过平衡条件等选择正确的物理规律列式求解．关键要注意正确选择物理过程．

练习册系列答案
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