Question

如图所示，半径R=0.9m的光滑的半圆轨道固定在竖直平面内，直径AC竖直，下端A与光滑的水平轨道相切．一小球沿水平轨道进入竖直圆轨道，通过最高点C时对轨道的压力为其重力的3倍．不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）小球在A点的速度大小；
（2）小球的落地点到A点的距离．

Answer 1

分析：（1）小球在C点时，由重力和轨道对小球的压力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解小球在C点的速度大小；再对小球从A到C过程，运用机械能守恒求解即可．
（2）小球离开C点后作平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动．小球的飞行高度为2R，根据平抛运动的规律求解小球的落地点到A点的距离．

解答：解：（1）设小球的质量为m，它通过最高点C时的速度为v_c，根据牛顿第二定律，有：
mg+3mg=m

v 2 c

R

代人数据解得：v_c=

4gR

=

4×10×0.9

m/s=6m/s  
设小球在A点的速度大小为v_A，以地面为参考平面，根据机械能守恒定律，有：

1

2

m

v

2 A

=

1

2

m

v

2 C

+mg?2R
解得：v_A=

v 2 C +4gR

=

62+4×10×0.9

m/s=6

2

m/s≈8.5m/s
（2）小球离开C点后作平抛运动，根据2R=

1

2

gt2
它在空中运动的时间为：t=

4R g

=

4×0.9 10

s=0.6s 
小球的落地点到A点的距离为：s=v_c?t=6×0.6m=3.6m
答：（1）小球在A点的速度大小约为8.5m/s；
（2）小球的落地点到A点的距离为3.6m．

点评：本题主要考查了向心力公式、机械能守恒定律及平抛运动基本公式的直接应用，属于常规题．