Question

5．如图，在竖直平面内建立直角坐标系，ox方向为水平方向，由A点斜射出一物体，不计空气阻力，B和C是物体运动轨迹上的两点，D点是轨迹和y轴的交点，其中l₀为常数，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）

• A． 从A点到D点与从D点到B所用的时间相同
• B． 从A点到C点所用的时间3$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$
• C． 到D点的速率$\sqrt{g{l}_{0}}$
• D． 到C点的速率$\sqrt{\frac{15g{l}_{0}}{2}}$

Answer 1

分析 AB、根据数学知识求出抛物线方程，再得到最高点的坐标，从最高点到C做平抛运动，由平抛运动的规律求时间．
CD、由平抛运动的规律求出最高点的速度，再由机械能守恒求出质点经过C点时的速率．

解答 解：A、物体做斜抛运动，依据运动的合成与分解，可得，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，因此从A点到D点与从D点到B所用的时间相同，故A正确；
B、设抛物线方程为 y=ax²+c
当y=0时x=l₀，代入上式得：0=al₀²+c…①
当x=2l₀时y=-3l₀，代入上式得：-3l₀=4al₀²+c…②
由①②解得 a=-$\frac{1}{{l}_{0}}$，c=l₀．
故y=-$\frac{1}{{l}_{0}}$x²+l₀
当x=0时，y=l₀
所以最高点离x轴的高度为 h=l₀
从最高点到C做平抛运动，则从最高点到B点有 h=$\frac{1}{2}$g${t}_{1}^{2}$，
t₁=$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$
从最高点到C点有 4l₀=$\frac{1}{2}$g${t}_{2}^{2}$，
得 t₂=2$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$
故质点从A到C过程所经历的时间 t=t₁+t₂=3$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$，故B正确；
CD、设质点通过最高D点的速率为v．则 v=$\frac{{l}_{0}}{{t}_{1}}$=$\sqrt{\frac{g{l}_{0}}{2}}$
从最高点到C点，由机械能守恒定律得
  mg•4l₀=$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}$ mv²；
解得 v_C=$\sqrt{\frac{17g{l}_{0}}{2}}$，故CD错误；
故选：AB．

点评 解决本题的关键要掌握关于y轴对称的抛物线的方程一般式y=ax²+c，运用数学知识得到抛物线方程，再由运动的分解法研究抛体运动．