题目内容
【题目】如图所示,以O为圆心、半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向里、磁感应强度为B的匀强磁场,一粒子源位于圆周上的M点,可向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射质量为m、电荷量为的粒子,不计粒子重力,N为圆周上另一点,半径OM和ON间的夹角
,且满足
.
若某一粒子以速率v
,沿MO方向射入磁场,恰能从N点离开磁场,求此粒子的速率移v
;
若大量此类粒子以速率
,从M点射入磁场,方向任意,则这些粒子在磁场中运动的最长时间为多少?
若由M点射入磁场各个方向的所有粒子速率均为题
中计算出的
,求磁场中有粒子通过的区域面积.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】
(1)某一粒子以速率,沿MO方向射入磁场,恰能从N点离开磁场,由几何关系求得其做匀速圆周运动的半径,由洛伦兹力提供向心力求出入射速度
。
(2)某一粒子以速率从M点射入磁场,粒子在磁场中的半径为
,粒子在磁场中运动时间最长时,弧长(劣弧)最长,对应的弦长最长(磁场圆的直径)。
(3)若由M点射入磁场各个方向的所有粒子速率均为,这些粒子在磁场中有相同的半径
,则圆心轨迹是以M为圆心、半径为
的圆。试着画出极端情况下粒子能达到的区域,从而把粒子能到达的整个区域面积求出来。
(1) 粒子以速率沿MO方向射入磁场,恰能从N点离开磁场,轨迹如图:
设轨迹半径为,则
,解得:
由牛顿第二定律可得,解得:
(2) 大量此类粒子以速率从M点射入磁场
由牛顿第二定律可得,解得:
粒子方向任意,粒子在磁场中运动时间最长时,弧长(劣弧)最长,对应的弦长最长(磁场圆的直径),轨迹如图:
则,解得:
粒子在磁场中运动的最长时间
(3)粒子沿各个方向以进入磁场做匀速圆周时的轨迹半径都为
,且不变。由图可知,粒子在磁场中通过的面积S等于以O3为圆心的半圆形MO3O的面积S1、以M为圆心的扇形MOQ的面积S2和以O点为圆心的圆弧MQ与直线MQ围成的面积S3之和。
、
、
所以
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