Question

11．变化的磁场可以激发感生电场，电子感应加速器就是利用感生电场使电子加速的设备．它的基本原理如图所示，上、下为两个电磁铁，磁极之间有一个环形真空室，电子在真空室内做圆周运动．电磁铁线圈电流的大小、方向可以变化，在两极间产生一个由中心向外逐渐减弱、而且变化的磁场，这个变化的磁场又在真空室内激发感生电场，其电场线是在同一平面内的一系列同心圆，产生的感生电场使电子加速．图1中上部分为侧视图、下部分为俯视图．已知电子质量为m、电荷量为e，初速度为零，电子圆形轨道的半径为R．穿过电子圆形轨道面积的磁通量Φ随时间t的变化关系如图2所示，在t₀ 时刻后，电子轨道处的磁感应强度为B₀，电子加速过程中忽略相对论效应．

（1）求在t₀ 时刻后，电子运动的速度大小；
（2）求电子在整个加速过程中运动的圈数；
（3）电子在半径不变的圆形轨道上加速是电子感应加速器关键技术要求．试求电子加速过程中电子轨道处的磁感应强度随时间变化规律．
当磁场分布不均匀时，可认为穿过一定面积的磁通量与面积的比值为平均磁感应强度$\overline B$．请进一步说明在电子加速过程中，某一确定时刻电子轨道处的磁感应强度与电子轨道内的平均磁感应强度的关系．

Answer 1

分析 （1）电子在匀强磁场在做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即可求出粒子运动 的速度；
（2）由动能定理求出电子获得的总动能以及电子加速一周获得的动能，二者之比即为所求；
（3）由法拉第电磁感应定律得出感生电场的大小，由牛顿第二定律求出加速度，由v=at得出速度，再结合洛伦兹力提供向心力即可得出结论．

解答 解：（1）在t₀ 时刻后，电子轨道处的磁感应强度为B₀，电子在磁场中作匀速圆周运动，受到洛伦兹力等于向心力  $e{v_0}{B_0}=m\frac{v_0^2}{R}$
${v_0}=\frac{{e{B_0}R}}{m}$
（2）加速后电子的动能为 ${E_K}=\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{{{e^2}B_0^2{R^2}}}{2m}$①
感生电场的感应电动势${E_感}=\frac{ϕ_0}{t_0}$②
电子加速运动一圈获得的能量为W=eE_感③
电子在整个加速过程中运动的圈数为$n=\frac{{{E_K}-0}}{W}$④
联立①②③④得$n=\frac{{eB_0^2{R^2}{t_0}}}{{2m{ϕ_0}}}$
（3）感生电场的电场强度$E=\frac{E_感}{2πR}$⑤
电子加速的加速度$a=\frac{eE}{m}$⑥
t时刻电子的速度为v=at⑦
此时电子作圆周运动时受到洛伦兹力等于向心力$evB=m\frac{v^2}{R}$⑧
联立②⑤⑥⑦⑧得$B=\frac{ϕ_0}{{2π{R^2}{t_0}}}t$⑨
t时刻的电子轨道内的磁通量为$ϕ=\frac{ϕ_0}{{t_0^{\;}}}t$
t时刻的电子轨道内的平均磁感应强度为$\overline B=\frac{ϕ}{{π{R^2}}}=\frac{ϕ_0}{{π{R^2}t_0^{\;}}}t$⑩
所以由⑨⑩得，t时刻电子轨道处的磁感应强度与电子轨道内的平均磁感应强度的关系为$B=\frac{\overline{B}}{2}=\frac{{ϕ}_{0}}{2π{R}^{2}{t}_{0}}t$
答：（1）在t₀ 时刻后，电子运动的速度大小是$\frac{e{B}_{0}R}{m}$；
（2）电子在整个加速过程中运动的圈数是$\frac{e{B}_{0}^{2}{R}^{2}{t}_{0}}{2m{ϕ}_{0}}$；
（3）电子加速过程中电子轨道处的磁感应强度随时间变化规律是$B=\frac{{ϕ}_{0}}{2π{R}^{2}{t}_{0}}t$．

点评 该题中，以电子感应加速器利用感生电场使电子加速的原理为纽带，将带电粒子在磁场中的运动与法拉第电磁感应定律结合在一起，充分考查带电粒子在磁场中的运动的特点，以及带电粒子在电场中运动的特点，是一道理论联系实际的好题．