Question

3．某单极发电机的简化原理如图所示．在长直线圈中垂直于线圈对称轴上固定一根半径为r的圆形金属导轨，可自由转动的金属杆CD位于线圈对称轴上，杆上固连一长为r的金属棒OA，可随杆转动，金属棒的另一端与圆形金属导轨接触良好．CD杆右侧固连一圆盘，其半径为$\frac{r}{2}$，并绕有细线，在恒力拉动下，圆盘和杆一起旋转．构成线圈的导线一端通过电刷P连接到杆CD上，另一端连接到圆形金属导轨Q点，回路的等效总电阻为R．线圈放置在磁感应强度为B₀的匀强磁场中，方向水平向右．（提示：当线圈中通有电流I时，电流在线圈内产生的磁感应强度大小B=aI，其中a是由线圈决定的常数）

（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，求金属棒OA两端电动势；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，求回路电流强度I；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，求作用在细线上的恒力大小F．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，即可求解；
（2）根据闭合电路欧姆定律，结合磁感应强度大小B=αI，即可求解；
（3）根据稳定转动时的Fv=I²R，结合线速度与角速度的关系，即可求解．

解答 解：（1）由法拉第电磁感应定律，则有：E=Brv=$\frac{1}{2}{B}_{0}ω{r}^{2}$
（2）线圈内总磁感应强度：B′=B₀+B
而B=αI，
且I=$\frac{E}{R}$=$B′\frac{1}{2R}{ω}_{0}{r}^{2}$
解得：I=$\frac{{B}_{0}{r}^{2}{ω}_{0}}{2R-α{r}^{2}{ω}_{0}}$
应有：${ω}_{0}＜\frac{2R}{α{r}^{2}}$
（3）金属棒稳定转动时，则有：Fv=I²R；
而v=$\frac{{ω}_{0}r}{2}$
解得：F=$\frac{2{I}^{2}R}{r{ω}_{0}}$=$（\frac{{B}_{0}{r}^{2}{ω}_{0}}{2R-α{r}^{2}{ω}_{0}}）^{2}•\frac{2R}{r{ω}_{0}}$
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为$\frac{1}{2}{B}_{0}ω{r}^{2}$；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为$\frac{{B}_{0}{r}^{2}{ω}_{0}}{2R-α{r}^{2}{ω}_{0}}$；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为$（\frac{{B}_{0}{r}^{2}{ω}_{0}}{2R-α{r}^{2}{ω}_{0}}）^{2}•\frac{2R}{r{ω}_{0}}$．

点评 考查法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律的应用，掌握线速度与角速度的关系，注意金属棒稳定转动时，则有：Fv=I²R，是解题的突破口．