Question

8．如图所示的平面直角坐标系xOy，x轴水平向右，y轴竖直向上，在第四象限同时存在沿y轴正方向的匀强电场E和以ON为直径的半圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B，方向处置坐标平面向外．一质量为m、电荷量为q的带正电的微粒，从y轴正半轴上y=h处的M点，以速度v₀垂直于y轴射入，经x轴上x=2h处的P点进入复合场区，最后以垂直于y轴的方向再次经过y轴离开第四象限，匀强电场的场强大小E=$\frac{mg}{q}$，求：
（1）微粒通过P点时的速度v；
（2）微粒在半圆形场区中运动的轨道半径r；
（3）微粒从M点出发到再次到达y轴所经历的总时间t．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动规律，结合运动学公式，及矢量合成法则，即可求解；
（2）应用动能定理即可求得电场中粒子的速度，粒子以此速度进入第四象限，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，先画出轨迹图，找出半径；利用洛伦兹力提供向心力的公式，可求出在磁场中运动的半径；
（3）粒子的运动分为两部分，一是在第一象限内做类平抛运动，二是在第四象限内做匀速圆周运动，三是在第四象限内做匀速直线运动，分段求出时间，相加可得总时．

解答 解：（1）微粒在重力作用下，做平抛运动，
根据运动的分解，则有：水平方向，2h=v₀t；
竖直方向，h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立，解得：$\frac{{v}_{0}}{gt}=1$，
即在P点的速度方向与x轴的夹角为45°，
那么微粒通过P点时的速度v=$\sqrt{2}{v}_{0}$；
（2）由题意可知，在第四象限，mg=qE，即重力等于电场力，
微粒先做平抛运动，再做匀速圆周运动，最后做匀速直线运动，
运动轨迹如图所示：

设微粒在磁场中半径为r，设粒子进入磁场时速度为v，根据Bqv=$\frac{m{v}^{2}}{r}$
求出运动轨道的半径：r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$
（3）粒子在电场中运动的时间：t₁=$\frac{2h}{{v}_{0}}$
粒子在磁场中运动的周期：T=$\frac{2πr}{v}$
设粒子在磁场中运动的时间为t₂，由几何关系可知粒子的偏转角为135°，
所以有：t₂=$\frac{135°}{360°}$•T=$\frac{3πm}{4qB}$
粒子离开磁场后运动的时间：t₃=$\frac{x}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{2h-\frac{\sqrt{2}}{2}r}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}h}{{v}_{0}}$-$\frac{\sqrt{2}m}{2Bq}$
求出总时间：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（2+\sqrt{2}）h}{{v}_{0}}$+（$\frac{3π}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）$\frac{m}{Bq}$
答：（1）微粒通过P点时的速度大小$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向与x轴夹角为45°；
（2）微粒在半圆形场区中运动的轨道半径$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
（3）微粒从M点出发到再次到达y轴所经历的总时间$\frac{（2+\sqrt{2}）h}{{v}_{0}}$+（$\frac{3π}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）$\frac{m}{Bq}$．

点评 本题关键是明确粒子的运动，画出轨迹，然后结合几何关系，分为类似平抛运动和匀速圆周运动进行分析计算．