Question

4．如图所示，质量为M，半径为R的半球形碗放置于水平地面上，碗内壁光滑．现使质量为m的小球沿碗壁做匀速圆周运动，其轨道平面与碗口平面的高度差用h表示，运动过程中碗始终保持静止，设碗与地面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．下列说法正确的是（　　）

• A． h越小，地面对碗的摩擦力越大
• B． h越小，地面对碗的支持力越大
• C． 若h=$\frac{R}{2}$，小球的动能为$\frac{3}{4}$mgR
• D． 若h=$\frac{R}{2}$，M=10m，则碗与地面之间的动摩擦因数可以小于$\frac{\sqrt{3}}{11}$

Answer 1

分析 对球受力分析，根据牛顿第二定律求得小球的向心加速度，利用小球和碗组成的系统进行分析判断出摩擦力合支持力的变化即可判断

解答 解：对小球受力分析，受到重力和支持力，合力提供向心力，则F_向=mgtanθ，θ为球到圆心与竖直方向的夹角，h越小，θ越小，根据F=ma_n可知，h越小，向心加速度越小，对碗和球组成的整体可知，f=ma_n故地面对碗的摩擦力越小，故A错误；
B、对碗和球组成的整体，竖直方向合力为零，故地面对碗的支持力等于碗和球的中力，故B错误；
C、对球根据牛顿第二定律可知：$mgtan60°=\frac{m{v}^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}R}$，解得：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{3}{4}mgR$，故C正确；
D、若h=$\frac{R}{2}$，根据mgtan60°=ma_n，解得：${a}_{n}=\sqrt{3}g$
根据AB选项可知：μ（M+m）g=ma_n，解得：$μ=\frac{\sqrt{3}}{11}$故则碗与地面之间的动摩擦因数必须大于$\frac{\sqrt{3}}{11}$，故D错误
故选：C

点评 本题主要考查了牛顿第二定律，关键是利用好整体法求得摩擦力合支持力，在D选项中利用牛顿第二定律求得最小摩擦因数即可判断