Question

如图所示，质量为M=8kg的小车放在光滑的水平面上，在小车左端加一水平推力F=8N，当小车向右运动的速度达到v₀=1.5m/s时，在小车前端轻轻放上一个大小不计、质量为m=2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2．已知运动过程中，小物块没有从小车上掉下来，取g=10m/s²．求：
（1）经过多长时间两者达到相同的速度；
（2）小车至少多长，才能保证小物块不从小车上掉下来；
（3）从小物块放上小车开始，经过t=1.5s小物块通过的位移大小为多少．

Answer 1

分析：（1）小物块放上小车后，发生相对滑动，小物块在滑动摩擦力的作用下做匀加速运动，小车在推力和摩擦力作用下做匀加速运动，根据牛顿第二定律求出物块和小车的加速度．
（2）物块做初速度为0的匀加速运动，小车做有初速度的匀加速运动，根据运动学公式求出速度相等的时间，从而求出相等的速度，根据位移公式即可求解．
（3）物块和小车速度相等后，一起做匀加速直线运动，物块与小车间的滑动摩擦力变为静摩擦力．先求出速度相等前物块的位移，然后根据共同一起运动的加速度，求出一起匀加速运动的位移，两个位移之和即为小物块最终的位移．

解答：解：（1）设小物块和小车的加速度分别a_m、a_M，由牛顿第二定律有：
μmg=ma_m
F-μmg=Ma_M                
代入数据解得：a_m=2m/s²                  
a_M=0.5m/s²                
设经过时间t₁两者达到相同的速度，由a_mt₁=v₀+a_M t₁             
解得：t₁=1s                                                 
（2）当两者达到相同的速度后，假设两者保持相对静止，以共同的加速度a做匀加速运动
对小物块和小车整体，由牛顿第二定律有：
F=（M+m）a
解得：a=0.8m/s²
此时小物块和小车之间的摩擦力f=ma=1.6N
而小物块和小车之间的最大静摩擦力f_m=μmg=4N
f＜f_m，所以两者达到相同的速度后，两者保持相对静止．             
从小物块放上小车开始，小物块的位移为：s_m=

1

2

amt12
小车的位移s_M=v0t1+

1

2

aMt12
小车至少的长度l=s_M-s_m
带入数据得：l=0.75m
（3）在开始的1s内，小物块的位移s_m=

1

2

amt12=1m，末速度v=a_mt₁=2m/s
在剩下的时间t₂=t-t₁=0.5s时间内，物块运动的位移为s₂=υt₂+

1

2

at²，得s₂=1.1m．
可见小物块在总共1.5s时间内通过的位移大小为s=s_m+s₂=2.1m．
答：（1）经过1s钟两者达到相同的速度；
（2）小车至少0.75m，才能保证小物块不从小车上掉下来；
（3）从小物块放上小车开始，经过t=1.5s小物块通过的位移大小为2.1m．

点评：解决本题的关键知道物块和小车开始各自以加速度做匀加速运动，当速度相对后，保持相对静止，一起做匀加速直线运动．