Question

17．小球A从离地45m高处从静止开始自由下落，同时B球以初速度v₀=20m/s从地面竖直向上抛出，A和B不在同一竖直线上运动，A和B落地后都不反弹，不计空气阻力，g取10m/s²，求：
（1）从A开始下落到A和B在空中处于同一水平高度所需的时间；
（2）当A落地时，B离地高度和速度；
（3）若要使两球在B球下降过程中相遇（即处于同一水平高度），则v₀应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）A球做竖直上抛运动，B球做自由落体运动，根据速度位移关系公式列式求解；
（2）先根据速度时间关系公式求解A球的运动时间，再根据位移时间关系公式求解B球的位移，结合几何关系判断离地高度．由速度时间公式求速度．
（3）先由相遇时位移大小之和等于45m求解时间t的表达式，再根据t满足的条件：$\frac{{v}_{0}}{g}$＜t＜$\frac{2{v}_{0}}{g}$，解答即可．

解答 解：（1）A球做竖直上抛运动，B球做自由落体运动，根据速度位移关系公式，有：
h_A+h_B=H
即：$\frac{1}{2}$gt²+（v₀t-$\frac{1}{2}$gt²）=H
解得：t=$\frac{H}{{v}_{0}}$=$\frac{45}{20}$s=2.25s
（2）A落地时，根据位移时间关系公式，有：
 H=$\frac{1}{2}g{t}_{A}^{2}$，
解得：t_A=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×45}{10}}$s=3s
此时B球的位移为：
 x=v₀t_A-$\frac{1}{2}$gt_A²=20×3-$\frac{1}{2}$×10×9=15m
即B球离地高度为15m；
速度为：v=v₀-gt_A=20-10×3=-10m/s，即方向竖直向下．
（3）若要使两球在B球下降过程中相遇，t必须满足：$\frac{{v}_{0}}{g}$＜t＜$\frac{2{v}_{0}}{g}$
又 t=$\frac{H}{{v}_{0}}$
联立解得：$\sqrt{\frac{1}{2}gH}$＜v₀＜$\sqrt{gH}$
代入解得：15m/s＜v₀＜15$\sqrt{2}$m/s．
答：（1）从A开始下落到A和B在空中处于同一水平高度所需的时间是2.25s；
（2）当A落地时，B离地高度是15m，速度大小为10m/s，方向竖直向下；
（3）若要使两球在B球下降过程中相遇（即处于同一水平高度），则v₀应满足的条件是15m/s＜v₀＜15$\sqrt{2}$m/s．

点评 本题关键是明确竖直上抛运动和自由落体运动的运动性质，然后根据运动学公式列式求解．