Question

如图甲所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN，导轨的电阻均不计．导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接有一个R=4Ω的电阻．有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为B₀=1T．将一根质量为m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好．现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度，已知在此过程中通过金属棒截面的电量q=0.2C，且金属棒的加速度a与速度v的关系如图乙所示，设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行．（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数μ
（2）cd离NQ的距离s
（3）金属棒滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的热量
（4）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，为使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B应怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）．

Answer 1

（1）当v=0时，a=2m/s²
由牛顿第二定律得：mgsinθ-μmgcosθ=ma
μ=0.5       
（2）由图象可知：v_m=2m/s  
当金属棒达到稳定速度时，
有F_A=B₀IL
切割产生的感应电动势：E=B₀Lv
I=

E

R+r

平衡方程：mgsinθ=F_A+μmgcosθ
r=1Ω
电量为：q=It=n

△φ

△t(R+r)

t=n

△φ

R+r

s=2m
（3）mgh-μmgscos370-WF=

1

2

mv2-0
产生热量：W_F=Q_总=0.1J
QR=

4

5

Q总=0.08J
（4）当回路中的总磁通量不变时，
金属棒中不产生感应电流．
此时金属棒将沿导轨做匀加速运动．              
牛顿第二定律：mgsinθ-μmgcosθ=ma
a=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.5×0.8）m/s²=2m/s²
B0Ls=BL(s+vt+

1

2

at2)
则磁感应强度与时间变化关系：B=

B0s

s+υt+ 1 2 at2

=

2

2+2t+t2

．
所以：（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数为0.5 
（2）cd离NQ的距离2m
（3）金属棒滑行至cd处的过程中，电阻R上产生的热量0.08J
（4）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，为使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B应怎样随时间t变化为B=

2

2+2t+t2

．