Question

10．如图所示，皮带传动装置与水平面夹角为30°，轮半径R=$\frac{1}{4π}$m，两轮轴心相距L=8.15m，A、B分别使传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑，一个质量为0.1kg的小物块与传送带间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．小物块相对于传送带运动时，会在传送带上留下痕迹．当传送带沿逆时针方向匀速运动时，小物块无初速地放在A点，运动至B点飞出．若传送带沿逆时针方向匀速运动的速度v₀=1.5m/s，求划痕的长度？

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律，抓住物体相对滑动所受的摩擦力沿斜面向下，求出匀加速运动的加速度的大小．根据运动学公式求出速度达到传送带速度时的时间和位移，根据牛顿第二定律求出继续做匀加速运动的加速度，根据位移时间公式求出继续匀加速运动的时间，物体速度达到传送带前相对传送带向上滑，速度达到传送带速度后相对传送带向下滑，结合相对位移的大小关系确定最终的相对位移大小，即痕迹的长度．

解答 解：物体开始阶段匀加速下滑，根据牛顿第二定律得其加速度为：
 a₁=$\frac{mgsin30°+μmgcos30°}{m}$=gsin30°+μgcos30°=5+$\frac{\sqrt{3}}{6}$×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=7.5m/s²．
物体速度达到传送带速度的时间为：
 t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{1.5}{7.5}$s=0.2s，
运动的位移为：
 x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×7.5×0．{2}^{2}$m=0.15m．
速度达到传送带速度后，由于mgsin30°＞μmgcos30°，所以物体继续做匀加速直线运动，加速度为：
 a₂=$\frac{mgsin30°-μmgcos°}{m}$=gsin30°-μgcos30°=5-$\frac{\sqrt{3}}{6}$×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2.5m/s²．
根据L-x₁=v₀t₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²代入数据得：t₂=2s
物体速度达到传送带速度前，相对滑动的位移为：
△x₁=v₂t₁-x₁=1.5×0.2m-0.15m=0.15m，
达到传送带速度后相对滑动的位移大小为：
△x₂=x₂-v₀t₂=8.15-0.15-1.5×2m=5m，
可知相对滑动的位移为：△x=△x₁+△x₂=5.15m，则划痕的长度为5.15m．
答：划痕的长度为5.15m．

点评 解决本题的关键理清物体在传送带上整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，要注意划痕的长度等于物体与传送带间的相对位移大小，不等于物体相对于地的位移大小．