Question

19．如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B₁，E的大小为0.5×10³V/m，B₁大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B₂，磁场的下边界与x轴重合．一质量m=1×10^-14kg、电荷量q=1×10^-10C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B₂区域．一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出．M点的坐标为（0，-10），N点的坐标为（0，30），不计粒子重力，g取10m/s²．
（1）请分析判断匀强电场E的方向（要求在图中画出）并求出微粒的运动速度v；
（2）匀强磁场B₂的大小为多大？
（3）B₂磁场区域的最小面积为多少？

Answer 1

分析 （1）不计粒子重力，微粒在第四象限内仅受电场力和洛伦兹力而做直线运动，粒子必定做匀速直线运动，电场力和洛仑兹力必定相互平衡，根据左手定则判断出洛伦兹力方向，确定电场强度E的方向，由平衡条件求解微粒的运动速度v；
（2）画出微粒的运动轨迹与磁场的几何图．根据几何知识求出粒子在第一象限内做圆周运动的半径，由牛顿第二定律求解匀强磁场B₂的大小．
（3）磁场B₂的最小区域应该分布在微粒的运动轨迹与磁场两圆的公共部分的面积，根据几何知识求出B₂磁场区域的最小面积．

解答 解：（1）粒子在电场与磁场中做直线运动，若速度变化会引起洛伦兹力的变化，微粒将不能做直线运动，因此微粒必做匀速直线运动，洛伦兹力与电场力相平衡．则有
 B₁qv=qE 
解之得：v=$\frac{E}{{B}_{1}}$=$\frac{0.5×1{0}^{3}}{0.5}$=1×10³m/s
根据左手定则可知正电荷所受洛伦兹力方向为：垂直于速度方向向上，电场力的方向与洛伦兹力方向相反，即垂直于速度方向向下，则场强E的方向垂直于MP连线向下．
（2）粒子在磁场B₂区域内做一段圆弧运动，画出微粒的运动轨迹如图．设粒子在第一象限内做圆周运动的半径为R，则有：微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即 B₂qv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，B₂=$\frac{mv}{qR}$
由几何关系可知：三角形MNE是等边三角形，ME=MN=40cm，MP=2OM=20cm，Rtan60°+MP=ME
解得 R=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$cm　  
解之得　B₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$T．
（3）由图可知，磁场B₂的最小区域应该分布在图示的矩形PACD内．
由几何关系易得PD=2Rsin60°=0.2m，PA=R（1-cos60°）=$\frac{\sqrt{3}}{30}$m　　　
所以，所求磁场的最小面积为S=PD×PA=0.2×$\frac{\sqrt{3}}{30}$m²=$\frac{\sqrt{3}}{150}$m²．
答：（1）匀强电场E的方向垂直于MP连线向下，微粒的运动速度v为1×10³m/s；
（2）匀强磁场B₂的大小为$\frac{\sqrt{3}}{2}$T．
（3）B₂磁场区域的最小面积为$\frac{\sqrt{3}}{150}$m²．

点评 当带电粒子在电场与磁场中做直线运动时，由于洛伦兹力大小与速度大小成正比，所以粒子必做匀速直线运动．当粒子进入磁场时，仅受洛伦兹力做匀速圆周运动，由几何关系可确定粒子的轨迹半径．