Question

9．如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ电阻不计，其间距为L，两导轨所构成平面与水平面成θ角．两根用长为d的细线连接的金属杆ab、cd分别垂直导轨放置，沿斜面向上的外力F作用在杆ab上，使两杆静止．已知两金属杆ab、cd的质量分别为m和2m，两金属杆的电阻都为R，并且和导轨始终保持良好接触，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．某时刻将细线烧断，保持杆ab静止不动．
（1）cd杆沿导轨下滑，求其达到的最大速度v_m；
（2）当cd杆速度v=$\frac{1}{2}{v_m}$时，求作用在ab杆上的外力F；
（3）若将细绳烧断时记为t=0，从此时刻起使磁场随时间变化，使abcd回路中无感应电流产生，求磁感应强度B随时间t变化关系（写出B与t的关系式）；
（4）从细线烧断到cd杆达到最大速度的过程中，杆ab产生的热量为Q，求通过cd杆的电量．

Answer 1

分析 （1）cd杆做匀速直线运动时速度达到最大，应用平衡条件可以求出杆的最大速度．
（2）由欧姆定律求出电路电流，ab杆保持静止，应用平衡条件可以求出拉力大小．
（3）当穿过回路的磁通量保持不变时回路不产生刚电流，根据感应电流产生的条件求出B随t的变化关系．
（4）由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，根据电流定义式的变形公式可以求出电荷量．

解答 解：（1）当cd杆匀速运动时速度达到最大，由平衡条件得：
$2mgsinθ=\frac{{{B^2}{L^2}{v_m}}}{2R}$，
解得最大速度为：
${v_m}=\frac{4mgRsinθ}{{{B^2}{L^2}}}$；
（2）cd杆速度v=$\frac{1}{2}{v_m}$时，回路中感应电流为：
$I=\frac{{\frac{1}{2}BL{v_m}}}{2R}=\frac{{BL{v_m}}}{4R}$，
ab杆保持静止，由平衡条件可知：
F=mgsinθ+BIL，
解得：$F=mgsinθ+\frac{{{B^2}{L^2}{v_m}}}{4R}=2mgsinθ$；
（3）abcd回路中无感应电流产生，cd杆沿斜面做匀加速下滑，加速度a=gsinθ，
经过时间t下滑距离为：
$x=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{1}{2}gsinθ{t^2}$，
abcd回路中无感应电流产生，即回路中磁通量没有变化，所以φ₀=φ_t
即：BLd=B_tL（d+x），
解得：B_t=$\frac{2Bd}{2d+g{t}^{2}sinθ}$；
（4）设细线烧断到cd杆达到最大速度下滑的距离为s，
由于两杆电阻相等，所以产生电热相等，克服安培力做的功W_F=2Q，
由动能定理可知：$2mgssinθ-{W_F}=\frac{1}{2}•2mv_m^2$，
解得：$s=\frac{mv_m^2+2Q}{2mgsinθ}$，
通过cd杆的电量：q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{2R}$t=$\frac{\frac{BLs}{t}}{2R}$t=$\frac{BLs}{2R}$，
解得：$q=\frac{BL（mv_m^2+2Q）}{4mgRsinθ}=\frac{{4{m^2}gRsinθ}}{{{B^3}{L^3}}}+\frac{BLQ}{2mgRsinθ}$；
答：（1）cd杆沿导轨下滑，其达到的最大速度v_m为：$\frac{4mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）当cd杆速度v=$\frac{1}{2}{v_m}$时，作用在ab杆上的外力F为2mgsinθ；
（3）磁感应强度B随时间t变化关系为：B_t=$\frac{2Bd}{2d+g{t}^{2}sinθ}$；
（4）通过cd杆的电量为：$\frac{4{m}^{2}gRsinθ}{{B}^{3}{L}^{3}}$+$\frac{BLQ}{2mgRsinθ}$．

点评 本题是电磁感应中的力学问题，综合运用电磁磁学知识和力平衡知识．关键要正确分析cd杆的运动情况，熟练求解安培力，把握能量如何转化的．