Question

10．如图所示，在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里；第四象限内有平行xOy平面的匀强电场，电场强度大小为E．一带电量为+q、质量为m的粒子，自y轴上的P点由静止释放后，仅在电场力作用下经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场．已知OP=OQ=$\sqrt{2}$d．不计粒子重力．
（1）求粒子过Q点时速度的大小和方向．
（2）若磁感应强度的大小为一确定值B₀，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B₀．
（3）若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在第四象限的电场中做类平抛运动，将运动安水平方向与竖直方向分解，并结合动能定理可以求出粒子的速度和方向．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，作出粒子的运动轨迹，由数学知识求出粒子的轨道半径；洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可以求出磁感应强度．
（3）求出粒子在磁场中的运动时间，求出粒子在二四象限运动的时间，然后求出粒子总的运动时间．

解答 解：（1）设粒子过Q点时速度的大小为v，对P→Q过程，由动能定理得：$Eq•2d=\frac{1}{2}m{v^2}$…①
解得：$v=2\sqrt{\frac{Eqd}{m}}$…②
方向与+x方向成θ=45°  角
（2）设粒子做圆周运动的半径为R₁，粒子在第一象限的运动轨迹如图所示，

O₁为圆心，由几何关系可知△O₁OQ为等腰直角三角形，得：
R₁=2d…③
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB₀=$m\frac{v^2}{R_1}$…④
联立②③④式得：${B_0}=\sqrt{\frac{mE}{qd}}$
（3）设粒子做圆周运动的半径为R₂，粒子运动的轨迹如图所示，

由几何分析可知，粒子在第一、第三象限的轨迹均为半圆，得：
R₂=d…⑤
粒子在第二、第四象限的轨迹为长度相等的线段，得：
FG=PQ=2R₂…⑥
设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t，则有：$t=\frac{{FG+PQ+2π{R_2}}}{v}$…⑦
联立②⑤⑥⑦式得：t=（2+π） $\sqrt{\frac{md}{Eq}}$
答：（1）粒子过Q点时速度的大小$v=2\sqrt{\frac{qEd}{m}}$，与水平方向的夹角θ=45°；
（2）粒子以垂直y轴的方向进入第二象限时${B_0}=\sqrt{\frac{mE}{qd}}$；
（3）粒子相邻两次经过Q点所用的时间为（2+π） $\sqrt{\frac{md}{Eq}}$．

点评 本题是带电粒子在电场、磁场中运动的综合题，根据题意作出粒子的运动轨迹．应用数学知识求出粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径、粒子转过的圆心角，是本题的难点，也是正确解题的关键．