Question

5．如图所示，A₁、A₂为两块面积很大、相互平行的金属板，两板间距离为d，以A₁板的中点为坐标原点，水平向右和竖直向下分别建立x轴和y轴，在坐标为（0，$\frac{1}{2}d$）的P处有一粒子源，可在坐标平面内向各个方向不断发射同种带电粒子，这些带电粒子的速度大小均为v₀，质量为m，带电量为+q，重力忽略不计，不考虑粒子打到板上的反弹，且忽略带电粒子对金属板上电荷分布的影响．
（1）若只在A₁、A₂板间加上恒定电压U₀，且A₁板电势低于A₂板，求粒子打到A₁板上的速度大小；
（2）若只在A₁、A₂板间加上一方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，且B＜$\frac{{2m{v_0}}}{dq}$，求A₁板上有
粒子打到的区域范围（用x轴坐标值表示）；
（3）在第（2）小题前提下，若在A₁、A₂板间再加一电压，使初速度垂直指向A₁板的粒子打不到A₁板，试确定A₁、A₂板电势的高低以及电压的大小．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中加速，由动能定理很容易求出打到A₁板的速度大小．
（2）粒子源在P点向各个方向发射速度相同的同种粒子，则这些带电粒子以相同的半径有两板间做匀速圆周运动，求打在A1板上的粒子的范围：先要求出粒子做匀速圆周运动的半径，并与上下板的距离进行对比，再根据粒子旋转的方向，在想象中确定打在最右和最左的位置，但要注意的打在最左的位置分两种情况考虑．
（3）在第二问做匀速圆周运动的基础上在两板间加上电场，这时粒子的运动非常复杂，要使粒子不再打到A₁板，应使粒子做曲线运动的曲率半径减小，即使速度v减小，所以应加电场方向向下，即A₁板电势高于A₂板；恰好不打到A₁板，即到达A₁板时速度方向与板平行，再在x轴和y轴方向对速度和位移累加，结合动能定理就能求出两板间电压的大小是．

解答 解：（1）粒子运动到A₁板，电场力做正功，有：
$q\frac{U_0}{2}=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v_0}^2$
得：$v=\sqrt{{v_0}^2+\frac{{q{U_0}}}{m}}$
（2）磁场中圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{{v_0}^2}}{R}$，
解得：$R=\frac{{m{v_0}}}{qB}＞\frac{d}{2}$
  i  向右偏转打到A₁板最远为轨迹恰好与A₁板相切的粒子，如图（1）所示，由
   几何关系知：${x_右}^2+（R-\frac{d}{2}{）^2}={R^2}$
   可得：${x_右}=\sqrt{\frac{{m{v_0}d}}{qB}-\frac{d^2}{4}}$
  i i  向左偏转打到A₁板最远处对应有两种情况：
      易知O₂M=$\frac{1}{4}d$，O₂N=$\frac{3}{4}d$ 
   情形一：若R＜$\frac{3}{4}d$，即$B＞\frac{{4m{v_0}}}{3dq}$时，最远处轨道对应为x_左，PQ为直径由几何关系知：${（\frac{d}{2}）^2}+{x_左}^2={（2R）^2}$
     得：${x_左}=\sqrt{\frac{{4{m^2}{v_0}^2}}{{{q^2}{B^2}}}-\frac{d^2}{4}}$
   所以，当$B＞\frac{{4m{v_0}}}{3dq}$时A₁板上有粒子打到的范围x轴坐标是：
       $-\sqrt{\frac{4{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}-\frac{{d}^{2}}{4}}$～$\sqrt{\frac{{m{v_0}d}}{qB}-\frac{d^2}{4}}$ 
 情形二：若R＞$\frac{3}{4}d$，即$B＜\frac{{4m{v_0}}}{3dq}$时，最远处为轨道与A₂相切的粒子打在A₁的落点，如图（2）所示
   显然仍有x₁=$\sqrt{\frac{{m{v_0}d}}{qB}-\frac{d^2}{4}}$
   又${（R-d）^2}+{x_2}^2={R^2}$
   或${（d-R）^2}+{x_2}^2={R^2}$
   得${x_2}=\sqrt{\frac{{2m{v_0}d}}{qB}-{d^2}}$
  则x_左=x₁+x₂=$\sqrt{\frac{{m{v_0}d}}{qB}-\frac{d^2}{4}}$+$\sqrt{\frac{{2m{v_0}d}}{qB}-{d^2}}$
  所以，当$B＜\frac{{4m{v_0}}}{3dq}$时A₁板上有粒子打到的范围x轴坐标是：
-（$\sqrt{\frac{{m{v_0}d}}{qB}-\frac{d^2}{4}}$+$\sqrt{\frac{{2m{v_0}d}}{qB}-{d^2}}$）～$\sqrt{\frac{{m{v_0}d}}{qB}-\frac{d^2}{4}}$
（3）要使粒子不再打到A₁板，应使粒子做曲线运动的曲率半径减小，即使速度v减小，所以应加电场方向向下，
  即A₁板电势高于A₂板；恰好不打到A₁板，即到达A₁板时速度方向与板平行，设此时速度为v，
    $-q\frac{U}{2}=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v_0}^2$
   对于此时曲线轨迹上任一点在x方向上有$\frac{{△{v_x}}}{△t}=\frac{{q{v_y}B}}{m}=\frac{qB△y}{m△t}$
   分别对y方向的位移和x方向的速度累加得：$v=\frac{qdB}{2m}$
    得$U=\frac{{m{v_0}^2}}{q}-\frac{{q{B^2}{d^2}}}{4m}$
答：（1）若只在A₁、A₂板间加上恒定电压U₀，且A₁板电势低于A₂板，求粒子打到A₁板上的速度大小$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{q{U}_{0}}{m}}$．
（2）若只在A₁、A₂板间加上一方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，且B＜$\frac{{2m{v_0}}}{dq}$，则A₁板上有粒子打到的区域范围有两种情况：①当$B＞\frac{{4m{v_0}}}{3dq}$时A₁板上有粒子打到的范围x轴坐标是：$-\sqrt{\frac{4{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}-\frac{{d}^{2}}{4}}$～$\sqrt{\frac{{m{v_0}d}}{qB}-\frac{d^2}{4}}$ ②当$B＜\frac{{4m{v_0}}}{3dq}$时A₁板上有粒子打到的范围x轴坐标是：-（$\sqrt{\frac{{m{v_0}d}}{qB}-\frac{d^2}{4}}$+$\sqrt{\frac{{2m{v_0}d}}{qB}-{d^2}}$）～$\sqrt{\frac{{m{v_0}d}}{qB}-\frac{d^2}{4}}$．
（3）在第（2）小题前提下，若在A₁、A₂板间再加一电压，使初速度垂直指向A₁板的粒子打不到A₁板，则A₁板电势高，且两板电压为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{q}-\frac{q{B}^{2}{d}^{2}}{4m}$．

点评 本题的难点在于后两问：①求打在A₁板上范围，要考虑的因素很多，即有带电粒子的旋转方向及出射方向，其半径与A₁和A₂板间距大小的关系等．②第三问的要使向A₁板射出的粒子打不到A1板，则是洛仑兹力改变其方向的，对于此时曲线轨迹上任一点在x方向上有$\frac{{△{v_x}}}{△t}=\frac{{q{v_y}B}}{m}=\frac{qB△y}{m△t}$，分别对y方向的位移和x方向的速度累加得到时最后平行于A₁板的速度即末速度：$v=\frac{qdB}{2m}$，再由动能定理求出两板间的电压．