题目内容

一竖直平面内的轨道由粗糙斜面 AB、光滑圆弧轨道 BC、粗糙水平直道CD组成(如图a所示:其中AB与BC相切于B点,C为圆轨道的最低点,且为BC圆弧与CD相切点).将小球置于轨道ABC上离地面高为 H处由静止下滑,用力传感器测出其经过C点时对轨道的压力N,改变H的大小,可测出相应的 N 大小,N 随H的变化关系如图b折线 EFG所示(EF与FG两直线相连接于F点),FG反向延长交纵轴于一点的坐标是(0,5.8N),重力加速度g取 10m/s2,求:
(1)圆弧轨道的半径及轨道BC 所对圆心角(可用角度的三角函数值表示)
(2)小球与斜面AB间的动摩擦因数?
分析:(1)若物块只在圆轨道上运动,由动能定理得到物块滑到C处的速度与高度H的关系.物块经过C处时,由重力和轨道的支持力的合力提供向心力,由牛顿第二定律列出N与速度的关系,联立得到N与H的解析式,结合图线求出半径和圆心角.
(2)如果物块由斜面上滑下,由动能定理得到速度的表达式,再研究C点的向心力,联立得到N与H的表达式,用同样的方法求出动摩擦因数.
解答:解:(1)如果物块只在圆轨道上运动,则由动能定理  mgH=
1
2
mv2

得  v=
2gH

由向心力公式得  N-mg=m
v2
R
得:N=mg+m
v2
R
=
2mg
R
H+mg

结合EF图线得:mg=5,则m=0.5kg.
            
2mg
R
=10得  R=1m     
由数学知识得  cosθ=
R-H
R
=
1-0.2
1
=0.8
,则θ=37°
(2)如果物块由斜面上滑下,由动能定理:
mgH-μmgcosθ(H-0.2)?
1
sinθ
=
1
2
mv2
,得mv2=2mgH-
8
3
μmg(H-0.2)

由向心力公式得
N-mg=m
v2
R
得:N=mg+m
v2
R
=
2mg-
8
3
μmg
R
H+
1.6
3
μmg+mg

结合图线FG的斜率得
2mg-
8
3
μmg
R
=6
,得 μ=0.3     
答:
(1)圆弧轨道的半径是1m,轨道BC所对圆心角是37°.
(2)小球与斜面AB间的动摩擦因数是0.3.
点评:本题根据动能定理和圆周运动的规律得到N与H的解析式,再结合图线的数学意义,求解轨道半径等,是常用的数形结合的方法.
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