Question

某星球表面，宇航员做了如下实验，如图甲所示，一竖直平面内的轨道由粗糙斜面AD和光滑圆轨道DCE组成，AD与DCE相切于D点，C为圆轨道的最低点，将一小物块置于轨道ADC上离地面高为H处由静止下滑，用力传感器测出其经过C点时对轨道的压力F_N，改变H的大小，可测出相应的F_N的大小，F_N随H的变化关系如图乙折
线PQI所示（PQ与QI两直线相连接于Q点），QI反向延长交纵轴于F点（0，11N），求：

（1）轨道的半径；
（2）物块与斜面AD间的动摩擦因数μ．
（3）若已知小物块的质量为2.5Kg，星球半径4000km则在该星球上发射一颗人造卫星的最小速度．

Answer 1

分析：（1）通过图象得出D点的高度为0.1m，结合H=0m和H=0.1m时的压力，根据牛顿第二定律和动能定理求出轨道半径的大小．
（2）根据几何关系求出斜面倾角的正切值和余弦值，通过动能定理和牛顿第二定律求出压力与H的关系式，通过图线截距求出动摩擦因数的大小．
（3）根据物块的重力求出重力加速度的大小，根据重力提供向心力求出人造卫星的最小发射速度．

解答：解：（1）根据图象可以确定：当H₁=0时，N₁=10N；
 当H₂=0.1m  N₂=12N
在c点：N₁=mg   
解得mg=10N
N₂-mg=m

vC2

R

 
从D到C，根据动能定理得：mgH₂=

1

2

mvC2  
 联立解得R=1m  
（2）根据图象：D点比C点高H₂=0.1m，所以：
cosθ=

9

10

   tanθ=

19

9

设物体从AD间的某一点下滑，则：
mgH-μmgADcosθ=

1

2

mvC2
N-mg=m

vC2

R

    
AD=

H-H2

sinθ

整理得：
N=

2mg(tanθ-μ)

Rtanθ

H+mg(1+

2μH2

tanθ

) 
根据图象得：
mg(1+

2μH2

tanθ

)=11      
解得   μ=

19

18

   
（3）因为m=2.5kg
则重力加速度g=

10

2.5

=4m/s2．
根据mg=m

v2

R

得，v=

gR

=4×103m/s．
答：（1）轨道的半径为1m．（2）物块与斜面AD间的动摩擦因数μ=

19

18

．（3）人造卫星最小的发射速度为4×10³m/s．

点评：本题考查了牛顿第二定律、动能定理与图象的综合，对于图象问题关键得出两个物理量的关系式，结合图线的斜率或截距进行求解．