Question

2．如右图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R．一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半个圆周运动到达C点．不计空气阻力．试求：
（1）物块m在B点的速度及动能
（1）当m在A点时，弹簧的弹性势能的大小；
（2）物块m从B点运动到C点克服阻力做的功的大小；
（3）如果半圆形轨道也是光滑的，其他条件不变，当物体由A经B运动到C，然后落到水平面，落点为D（题中未标出，且水平面足够长），求D点与B点间距离．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律得出B点的速度，由${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$求的B电动能
（2）结合能量守恒定律求出物体在A点时的弹簧的弹性势能．
（3）物体恰好通过最高点C，根据牛顿第二定律求出C点的速度，通过动能定理求阻力做的功
（4）由动能定理求的到达C点的速度，从C点做平抛运动，由平抛运动求的水平位移

解答 解：（1）物块在B点时，由牛顿第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
F_N=7mg    
解得：${v}_{B}=\sqrt{6gR}$                             
E_kB=$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$=3mgR                                        
（2）在物体从A点至B点的过程中，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能
Ep=E_kB=3mgR
（3）物体到达C点仅受重力mg，根据牛顿第二定律有
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
E_kC=$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}$mgR                                   
物体从B点至C点只有重力和阻力做功，根据动能定理有：
W_阻-mg•2R=E_kC-E_kB
解得W_阻=-0.5mR                                     
所以物体从B点运动至C点克服阻力做的功为W=0.5mgR．
（4）在物体从B点至C点的过程中，根据动能定理有：
-mg2R=$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$   
解得：$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}$=mgR  
得：v_c=$\sqrt{2gR}$
由C点到D点，物体做平抛运动，有：
水平方向：X_BD=v_ct                                     
竖直方向：2R=$\frac{1}{2}g{t^2}$
解得：X_BD=2$\sqrt{2}R$
答：（1）物块m在B点的速度为$\sqrt{6gR}$，动能为3mgR
（1）当m在A点时，弹簧的弹性势能的大小为3mgR；
（2）物块m从B点运动到C点克服阻力做的功的大小为0.5mgR；
（3）如D点与B点间距离为$2\sqrt{2}R$

点评 本题考查了牛顿第二定律和能量守恒定律的综合运用，知道圆周运动向心力的来源是解决本题的关键