Question

13．如图所示，在竖直平面直角坐标系的第I、第Ⅳ象限中有垂直正交的匀强电场和匀强磁场，第I象限磁场方向垂直纸面向外，第Ⅳ象限磁场方向垂直纸面向里，大小都为B．电场方向竖直向上，且满足E=$\frac{mg}{q}$．现有质量为m、带电量为+q的带电小球从坐标原点以速度v沿y轴正方向射入，小球可视为质点．若在小球可能通过x轴的位置上依次放置小球1、小球2、小球3…（图中并未画出），它们的质量依次为m、2m、4m、…2^n-1m，它们的带电量依次为+q、+2q、+4q…+2^n-1q．设所有的碰撞时间极短，碰后都粘在一起且碰撞时电量不损失．求：

（1）小球第一次和第二次碰撞时的位置坐标
（2）小球最后趋近的位置坐标和整个运动过程中碰撞损失的总的机械能．

Answer 1

分析 （1）根据小球在磁场在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的半径公式，求得小球碰撞时的位置坐标，根据动量守恒求得小球碰撞后的速度，再根据半径公式求得第二次碰撞的位置坐标即可；
（2）根据小球碰撞过程中小球的电量表达式，再根据动量守恒求得粒子n次碰撞后的速度表达式再根据半径公式求得位置坐标的通项公式，再根据能量守恒求得损失的机械能．

解答 解：（1）在第I象限，因为$F=qE=q\frac{mg}{q}=mg$
所以带电小球在洛仑兹力的作用下做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有：
$qvB=m\frac{v^2}{R_0}$
得：${R_0}=\frac{mv}{qB}$…①
所以带电小球第一次碰撞时的位置坐标为：
（$2\frac{mv}{qB}$，0）
小球第一次经过x轴时与小球1发生碰撞，由动量守恒定律得：
mv=2mv₁
由题意知小球的带电量变为2q，在第IV象限满足2mg=2qE，小球在洛仑兹力作用下做小球匀速圆周运动有：
${R_1}=\frac{{2m{v_1}}}{2qB}=\frac{mv}{2qB}=\frac{1}{2}{R_0}$
所以带电小球第二次碰撞时的X坐标为：$2{R_0}+2{R_1}=3{R_0}=\frac{3mv}{qB}$
所以带电小球第二次碰撞时的位置坐标为（$\frac{3mv}{qB}$，0）
（2）小球第n次经过x轴时与第n个小球发生碰撞后，设其质量为m_n、电量为q_n、速度为v_n，则：
m_n=m+m+2m+4m+…+2^n-1m=2ⁿm…②
${q_n}=q+q+2q+4q+…+{2^{n-1}}q={2^n}q$…③
因为${F_n}={q_n}E={2^n}q\frac{mg}{q}={2^n}mg$
所以每次碰后带电小球在洛仑兹力的作用下均做匀速圆周运动，由动量守恒定律得：mv=m_nv_n=P…④
又：${q_n}{v_n}B=m\frac{v_n^2}{R_n}$…⑤
由 ①②③④⑤式得：${R_n}=\frac{mv}{{{q_n}B}}=\frac{mv}{{{2^n}qB}}=\frac{1}{2^n}{R_0}$
当n→∞时，R_n→0，y轴的坐标y=0
当n→∞时，x轴的坐标为：
x=2R₀+2R₁+2R₂+2R₃…+2R_n=$2\frac{{{R_0}[1-{{（\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{2}}}=4{R_0}=\frac{4mv}{qB}$
所以小球趋近的坐标是$（\frac{4mv}{qB}，0）$
当n→∞时，电场力、重力对小球都不做功
又当n→∞时，小球的质量m_n→∞
所以，${E_{kn}}=\frac{P^2}{{2{m_n}}}→0$
即整个运动过程中因碰撞损失的最大总动能为：
$△{E_k}={E_{k0}}=\frac{1}{2}m{v^2}$
答：（1）小球第一次和第二次碰撞时的位置坐标分别为（$2\frac{mv}{qB}$，0）和（$\frac{3mv}{qB}$，0）：
（2）小球最后趋近的位置坐标为$（\frac{4mv}{qB}，0）$和整个运动过程中碰撞损失的总的机械能为$\frac{1}{2}m{v}^{2}$

点评 解决本题的关键是根据洛伦兹力提供圆周运动向心力，以及碰撞过程中的动量守恒，能根据题意写出电量及速度和半径的通项公式是正确解题的关键．