Question

5．如图所示，位于竖直平面上的$\frac{1}{4}$圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在地面上C点处，不计空气阻力，求：
（1）小球刚运动到B点时，对轨道的压力多大？
（2）小球在落地点C的速度有多大？
（3）比值$\frac{R}{H}$为多少时，小球落地点C与B点水平距离S最远？

Answer 1

分析 （1）小球由A→B过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律求小球到达B点的速度．在B点，由合力提供向心力，由牛顿定律列式求解小球对轨道的压力；
（2）小球从A点到C点，再由机械能守恒定律求出小球在落地点C的速度；
（3）利用数学知识分析水平位移的表达式即可求解．

解答 解：（1）小球由A→B过程中，根据机械能守恒定律有：
   mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：v_B=$\sqrt{2gR}$
小球在B点，根据向心力公式有；
   F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：F_N=3mg
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力，为3mg．
（2）小球由A→C过程，据机械能守恒定律有：
  mgH=$\frac{1}{2}$mv_C²
解得：v_C=$\sqrt{2gH}$
（3）小球由B→C过程做平抛运动，则
水平方向有：S=v_B•t
竖直方向有：H-R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得 S=2$\sqrt{（H-R）R}$
因为 H-R=R，由数学知识知，当H-R=R，即$\frac{R}{H}$=$\frac{1}{2}$时，S在最大值．
答：
（1）小球刚运动到B点时，对轨道的压力是3mg．
（2）小球在落地点C的速度为$\sqrt{2gH}$．
（3）比值$\frac{R}{H}$为$\frac{1}{2}$时，小球落地点C与B点水平距离S最远．

点评 本题关键对两个的运动过程分析清楚，然后选择机械能守恒定律和平抛运动规律列式研究水平位移的最大值，这是一种函数法，要学会运用．