Question

11．质量为M的箱子内有光滑竖直圆轨道，小球B质量m在竖直平面内做圆周运动．M保持睁止不动，当m在最高点时受M压力恰好为零，求m在竖直面内圆周运动时，M对地最小压力是多少？

Answer 1

分析 在最高点时受M压力恰好为零，根据牛顿第二定律求得在最高点的速度，小球在向下做圆周运动的过程中，速度增加，根据动能定理求得到达某一位置的速度，根据受力分析确定出向心力，有牛顿第二定律求得M对m的压力，然后对M受力分析，根据二次函数求得极值

解答 解：有题意可知，当m在最高点时受M压力恰好为零，即m在最高点处只受自身重力，重力提供m做圆周运动的向心力，根据整体受力分析可知：mg=$\frac{{mv}_{0}^{2}}{R}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{gR}$
小球下落到某一位置时，此时小球与圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，根据动能定理可得：$mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
在此位置，根据牛顿第二定律可知：${F}_{N}+mgcosθ=\frac{m{v}^{2}}{R}$
此时地面对M的支持力：F′_N=Mg-F_Ncosθ
联立解得：$F{′}_{N}=Mg+3mg（co{s}^{2}θ-cosθ）$=Mg+3mg（cosθ-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}mg$，
当$cosθ=\frac{1}{2}$，F′_N取最小值为$Mg-\frac{3}{4}mg$
根据牛顿第三定律可知对地面的压力最小值为$Mg-\frac{3}{4}mg$
答：M对地最小压力为$Mg-\frac{3}{4}mg$

点评 本题考查向心力公式的应用以及动能定理的应用，要注意正确分析物理过程，明确最高点和某点的受力分析，明确向心力的来源是解题的关键．