Question

3．如图所示电路中，已知E₁=E₃=5V，E₂=10V，R₁=R₂=5Ω，R₃=15Ω，求各支路电流及A、B两点间的电压U_AB．

Answer 1

分析 在直流电路中也可以运用叠加原理，即电路中各支路电流，等于每个电源单独作用时在该支路产生电流的叠加（代数和），来求解各支路电流．再由电势关系求电压U_AB．

解答 解：选向上电流为正，E₁单独作用时，R₂和R₃并联后与R₁串联，则通过R₁的电流 I₁=$\frac{{E}_{1}^{\;}}{{R}_{1}+\frac{{R}_{2}{R}_{3}}{{R}_{2}+{R}_{3}}}$=$\frac{5}{5+\frac{5×15}{5+15}}$=$\frac{4}{7}$A
流过R₂和R₃的电流方向向下，为负值，分别为 I₂=-$\frac{{R}_{3}}{{R}_{2}+{R}_{3}}$I₁=-$\frac{15}{5+15}$×$\frac{4}{7}$A=-$\frac{3}{7}$A
I₃=-（I₁-|I₂|）=-$\frac{1}{7}$A．
同理，E₂单独作用时，R₁和R₃并联后与R₂串联，则通过R₂的电流 I₂′=$\frac{{E}_{2}}{{R}_{2}+\frac{{R}_{1}{R}_{3}}{{R}_{1}+{R}_{3}}}$=$\frac{10}{5+\frac{5×15}{5+15}}$=$\frac{8}{7}$A
流过R₁和R₃的电流方向向下，为负值，分别为 I₁′=-$\frac{{R}_{3}}{{R}_{1}+{R}_{3}}$I₂′=-$\frac{15}{5+15}$×$\frac{8}{7}$A=-$\frac{6}{7}$A
 I₃′=-（I₂′-|I₁′|）=-$\frac{2}{7}$A
E₃单独作用时，R₁和R₂并联后与R₃串联，则通过R₃的电流 I₃″=$\frac{{E}_{3}}{{R}_{3}+\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}}$=$\frac{5}{15+\frac{5×5}{5+5}}$=$\frac{2}{7}$A
流过R₁和R₂的电流方向向下，为负值，均为 I₁″=I₂″=-$\frac{1}{2}$I₃″=-$\frac{1}{7}$A

当三个电源共同作用时，通过R₁、R₂、R₃的电流分别为 I_1总=I₁+I₁′+I₁″=-$\frac{3}{7}$A，负号表示电流方向向下．
I_2总=I₂+I₂′+I₂″=$\frac{4}{7}$A，电流方向向上．
I_3总=I₃+I₃′+I₃″=-$\frac{1}{7}$A，负号表示电流方向向下．
A、B两点间的电压为 U_AB=E₁+I_2总R₂=5+$\frac{4}{7}$×5=$\frac{55}{7}$V
答：通过R₁的电流为$\frac{3}{7}$A，方向向下．通过R₂的电流为$\frac{4}{7}$A，电流方向向上．通过R₃的电流为$\frac{1}{7}$A，电流方向向下．A、B两点间的电压为$\frac{55}{7}$V．

点评 本题的关键是搞清楚三个电源单独作用时电路的结构，能根据叠加原理和欧姆定律求解，要注意电流的方向．