Question

如图17-1所示，Ａ、Ｂ是静止在水平地面上完全相同的两块长木板．Ａ的左端和Ｂ的右端相接触．两板的质量皆为M＝2．0ｋｇ，

长度皆为L＝1．0ｍ．Ｃ是质量为ｍ＝1．0ｋｇ的小物块．现给它一初速度ｖ₀＝2．0ｍ／ｓ，使它从板Ｂ的左端向右滑动．已知地面是光滑的，而Ｃ与板Ａ、Ｂ之间的动摩擦因数皆为μ＝0．10．求最后Ａ、Ｂ、Ｃ各以多大的速度做匀速运动．取重力加速度ｇ＝10ｍ／ｓ^２．

Answer 1

Ａ、Ｂ、Ｃ的速度分别为ｖ_Ａ＝ｖ₃＝0．563ｍ／ｓ，ｖ_Ｂ＝ｖ₂＝0．155ｍ／ｓ，ｖ_Ｃ＝ｖ_Ａ＝0．563ｍ／ｓ．

先假设小物块Ｃ在木板Ｂ上移动ｘ距离后，停在Ｂ上．这时Ａ、Ｂ、Ｃ三者的速度相等，设为ｖ，由动量守恒得
ｍｖ₀＝（ｍ＋2Ｍ）ｖ，　　　　　①
在此过程中，木板Ｂ的位移为ｓ，小物块Ｃ的位移为ｓ＋ｘ．由功能关系得
－μｍｇ（ｓ＋ｘ）＝（1/2）ｍｖ^２－（1/2）ｍｖ₀²，
μｍｇｓ＝2Ｍｖ²／2，
则　－μｍｇｘ＝（1/2）（ｍ＋2Ｍ）ｖ²－（1/2）ｍｖ₀²，②
由①、②式，得
ｘ＝［ｍｖ₀²／（2Ｍ＋ｍ）μｇ］，　　　　　　　　　　③
代入数值得　ｘ＝1．6ｍ．　　　　　　　　　　　　　　　④
ｘ比Ｂ板的长度大．这说明小物块Ｃ不会停在Ｂ板上，而要滑到Ａ板上．设Ｃ刚滑到Ａ板上的速度为ｖ₁，此时Ａ、Ｂ板的速度为ｖ₂，则由动量守恒得
ｍｖ₀＝ｍｖ₁＋2Ｍｖ₂，　　　　　　　　　　　　　　　　⑤
由功能关系，得（1/2）ｍｖ₀²－（1/2）ｍｖ₁^２－2×（1/2）ｍｖ₂^２＝μｍｇＬ，
以题给数据代入，得


由ｖ₁必是正值，故合理的解是


当滑到Ａ之后，Ｂ即以ｖ₂＝0．155ｍ／ｓ做匀速运动，而Ｃ是以ｖ₁＝1．38ｍ／ｓ的初速在Ａ上向右运动．设在Ａ上移动了ｙ距离后停止在Ａ上，此时Ｃ和Ａ的速度为ｖ₃，由动量守恒得
Ｍｖ₂＋ｍｖ₁＝（ｍ＋Ｍ）ｖ₃，
解得　　ｖ₃＝0．563ｍ／ｓ．
由功能关系得
（1/2）ｍｖ₁²＋（1/2）ｍｖ₂²－（1/2）（ｍ＋Ｍ）ｖ₃²＝μｍｇｙ，
解得　　　ｙ＝0．50ｍ．
ｙ比Ａ板的长度小，所以小物块Ｃ确实是停在Ａ板上．最后Ａ、Ｂ、Ｃ的速度分别为ｖ_Ａ＝ｖ₃＝0．563ｍ／ｓ，ｖ_Ｂ＝ｖ₂＝0．155ｍ／ｓ，ｖ_Ｃ＝ｖ_Ａ＝0．563ｍ／ｓ．
评分标准　本题的题型是常见的碰撞类型，考查的知识点涉及动量守恒定律与动能关系或动力学和运动学等重点知识的综合，能较好地考查学生对这些重点知识的掌握和灵活运动的熟练程度．题给数据的设置不够合理，使运算较复杂，影响了学生的得分．从评分标准中可以看出，论证占的分值超过本题分值的50%，足见对论证的重视．而大部分学生在解题时恰恰不注重这一点，平时解题时不规范，运算能力差等，都是本题失分的主要原因．
解法探析　本题参考答案中的解法较复杂，特别是论证部分，①、②两式之间的两个方程可以省略．下面给出两种较为简捷的论证和解题方法．
解法一　从动量守恒与功能关系直接论证求解．设Ｃ刚滑到Ａ板上的速度为ｖ₁，此时Ａ、Ｂ板的速度为ｖ₂，则由动量守恒，得?
ｍｖ_０＝ｍｖ₁＋2Ｍｖ₂，
以系统为对象，由功能关系，得
1/2）ｍｖ₀²－（1/2）ｍｖ₁²－2×（1/2）ｍｖ₂²＝μｍｇＬ，
由于ｖ₁只能取正值，以题给数据代入得到合理的解为


由于小物块Ｃ的速度ｖ₁大于Ａ、Ｂ板的速度ｖ₂，这说明小物块Ｃ不会停在Ｂ板上．
以上过程既是解题的必要部分，又作了论证，比参考答案中的解法简捷．后面部分与参考答案相同，不再缀述．
解法二　从相对运动论证，用动量守恒与功能关系求解．
以地面为参照系，小物块Ｃ在Ａ、Ｂ上运动的加速度为ａ_Ｃ＝μｇ＝1ｍ／ｓ²，Ａ、Ｂ整体的加速度为ａ_ＡＢ＝μｍｇ／2Ｍ＝0．25ｍ／ｓ²，Ｃ相对Ａ、Ｂ的加速度ａ＝ａ_Ｃ＋ａ_ＡＢ＝1．25ｍ／ｓ²．假设Ａ、Ｂ一体运动，以Ａ、Ｂ整体为参照物，当Ｃ滑至与整体相对静止时，根据运动学公式，有
ｖ₀²＝2ａｓ，
解得　　　　ｓ＝ｖ₀²／2ａ＝1．6ｍ＞Ｌ．
说明小物块Ｃ不会停在Ｂ板上．