Question

1．将一天的时间记为T，地面上的重力加速度记为g，地球半径记为R
（1）试求地球同步卫星P的轨道半径r_p
（2）一卫星Q位于赤道上空，赤道一城市A的人每天看到两次卫星Q掠过上空，求Q的轨道半径．假设卫星运动方向与地球自转方向相同．

Answer 1

分析 （1）由万有引力等于向心力列出等式求解轨道半径
（2）卫星绕地球做匀速圆周运动，赤道一城市A的人每天看到两次卫星Q掠过上空，求出周期关系，由万有引力等于向心力列出等式求解Q的轨道半径．

解答 解：（1）设地球质量为M，同步卫星质量为m，同步卫星周期等于T，由万有引力等于向心力得：
$G\frac{Mm}{{r}_{P}^{2}}=m{r}_{P}{（\frac{2π}{T}）}^{2}$
又：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，
联立解得：r_P=$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）根据题述，卫星Q的周期T₁＜T．假设每隔t时间看到一次：
则$\frac{t}{{T}_{1}}-\frac{t}{T}=1$，
考虑到每天看到两次的稳定状态，则有：$t=\frac{1}{2}T$，
解得：${T}_{1}=\frac{1}{3}T$．
对于卫星Q，轨道半径为r，又有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}{\;}^{2}}r$．
解得：$r=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{36{π}^{2}}}$．
答：（1）地球同步卫星P的轨道半径是$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）Q的轨道半径是$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{36{π}^{2}}}$

点评 解决本题的关键知道同步卫星的特点，掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能熟练运用．