Question

3．如图所示，AOB是光滑水平轨道，BC是半径为R的光滑的$\frac{1}{4}$固定圆弧轨道，两轨道恰好相切．质量为M=3m的小木块静止在O点，一个质量为m的子弹以某一初速度水平向右射入小木块内，并留在其中和小木块一起运动．且恰能到达圆弧轨道的最高点C（木块和子弹均可以看成质点）．
①求子弹射入木块前的速度．
②若每当小木块返回到O点或停止在O点时，立即有相同的子弹射入小木块，并留在其中，则当第5颗子弹射入小木块后，小木块沿圆弧轨道能上升的最大高度为多少？

Answer 1

分析 （1）第一颗子弹射入木块的过程，系统动量守恒，以子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出初速度；
（2）由动量守恒定律与机械能守恒定律求出最大高度．

解答 解：（1）第一颗子弹射入木块的过程，系统动量守恒，以子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=（m+M）v₁，
系统由O到C的运动过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$（m+M）v₁²=（m+M）gR，
已知：M=3m，
解得：v₀=$4\sqrt{2gR}$；
（2）由动量守恒定律可知，第2、4、6…颗子弹射入木块后，木块的速度为0，第1、3、5…颗子弹射入后，木块运动．当第5颗子弹射入木块时，以子弹初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=（5m+M）v₅，
设此后木块沿圆弧上升的最大高度为H，由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}$（5m+M）v₅²=（5m+M）gH，
由以上各式可得：H=$\frac{1}{4}$R；
答：（1）子弹射入木块前的速度为$4\sqrt{2gR}$．
（2）若每当小木块返回到O点或停止在O点时，立即有相同的子弹射入小木块，并留在其中，则当第5颗子弹射入小木块后，小木块沿圆弧轨道能上升的最大高度为$\frac{1}{4}$R．

点评 本题考查了求速度与木块上升的高度问题，分析清楚物体运动过程、应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题．