Question

9．如图所示，AB是倾角为θ=53⁰的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R．一个质量为m的物体（可以看作质点）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ=0.5．求：（cos53°=sin 37°=0.6，cos37°=sin53°=0.8）
（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程s；
（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力的大小；
（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D（E、O、D为同一条竖直直径上的3个点），释放点距B点的距离L应满足什么条件．
（4）若物体从距B点d=3R处静止滑下，则物体离开圆轨时离圆心O点的高度是多少？

Answer 1

分析 （1）物体在AB轨道上运动时，摩擦力对物体做负功，物体的机械能不断减少，物体最终在圆心角为2θ的圆弧上往复运动．对整个过程，利用动能定理求摩擦力做的功；
（2）对BE过程，由动能定理可求得C点的速度，由向心力公式求解支持力，再由牛顿第三定律求解压力；
（3）根据圆周运动中能过最高点的条件明确物体的速度，再对全程由动能定理定式求解即可L应满足的条件；
（4）物体离开圆轨时由重力径向分力提供向心力．由此列式可求得物体离开圆轨道时的速度表达式．再由动能定理和几何关系列式，即可求解．

解答 解：（1）因为在AB轨道上摩擦力始终对物体做负功，所以物体最终在圆心角为2θ的圆弧上往复运动．对整体过程，由动能定理得：
mgR•cosθ-μmgcosθ•s=0，
所以总路程为：s=$\frac{R}{μ}$$\frac{R}{0.5}$=2R
（2）对B→E过程，由动能定理得：
mgR（1-cos θ）=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{E}^{2}$…①
在E点，由牛顿第二定律得：
F_N-mg=$\frac{m{v}_{E}^{2}}{R}$…②
由牛顿第三定律，物体对轨道的压力为：${F_N}^′={F_N}$…③
由①②③得对轨道压力：${F_N}^′$=（3-2cosθ）mg=1.8mg
（3）设物体刚好到D点，则有：mg=$\frac{m{v}_{D}^{2}}{R}$…④
对全过程由动能定理得：mgLsin θ-μmgcos θ•L-mgR（1+cos θ）=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{D}^{2}$…⑤
由④⑤得应满足条件：L≥$\frac{3+2cosθ}{2（sinθ-μcosθ）}$•R=4.2R
（4）设物体离开圆轨时，所在半径与水平方向夹角为β．则有：$mgsinβ=\frac{{m{v^2}}}{R}$
从B点到离开轨道的过程，由动能定理得：$mg（dsinθ-Rcosθ-Rsinβ）-μmgdcosθ=\frac{{m{v^2}}}{2}$
联立上式，得：sinβ=0.6
所以，距圆心高为：h=Rsinβ=0.6R
答：（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程s是2R；
（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力的大小是1.8mg；
（3）释放点距B点的距离L应满足的条件是L≥4.2R．
（4）若物体从距B点d=3R处静止滑下，则物体离开圆轨时离圆心O点的高度是0.6R．

点评 本题的关键要分析清楚物体的运动过程，判断物体最终的运动状态，把握圆周运动向心力来源，知道滑动摩擦力做功与总路程有关．