题目内容

7．如图，一端带有半径为R=0.45m的$\frac{1}{4}$圆弧、质量为M=4m的滑板，AB段表面粗糙，BC段圆弧表面光滑，C为圆弧的端点，开始时滑板静止在上表面光滑水平固定的凹形槽左端．小滑块P1和P2的质量均为m，与AB面间动摩擦因数分别为?1=0.20?和?2=0.40，且滑动摩擦力约等于最大静摩擦力．开始时滑块P1和P2静止排列在滑板左端，期间有一小间隙．在滑板左端正上方的O点，用长L=1.25m轻绳悬挂质量为m的小球，静止时绳处于竖起位置，小球与滑块相切且位于同一水平面上．现将小球P由图中水平虚线位置静止释放，到达最低点时与P1发生碰撞，接着P1与P2发生碰撞，碰撞过程中均无机械能损失，且时间极短，当P2滑到B点时，滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连，P2继续运动到点C时速度恰好为零．取g=10m/s2．求AB的长度L．

分析 该题涉及的过程比较多，按照时间的顺序解答：小球由静止释放至最低点的过程中机械能守恒，求出与P1碰撞前的速度，然后结合动量守恒定律与机械能守恒求出P1的速度，再进一步求出P2的速度，P2向右运动的过程中受到摩擦力，由牛顿第二定律结合运动学的公式即可求出AB的长度．

解答 解：小球由静止释放至最低点的过程中机械能守恒：mgl=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据解得：v0=5 m∕s
在最低点，小球与P1相碰，P1与P2相碰，均满足动量守恒和机械能守恒定律，选取向右为正方向，设碰后速度分别为v1和v2，则：
mv0=mv1+mv2
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：v1=0，v2=5 m∕s    即小球与P1相碰交换速度．
同理，P1与P2相碰也交换速度，P1静止在滑板的左端，P2以 v2=5 m∕s向右滑动．
P2向右滑动时对滑板的摩擦力为：f=μ2mg=4mN （向右）
对P1及M有：f=（m+M）a
则：$a=\frac{f}{m+M}=\frac{4m}{5m}=0.8$m∕s2
此时，对P1有：f′=ma=0.8m N＜fm=μ1mg=2.0m N
即P1与滑板相对静止且一起向右加速运动．
设P2滑到B点速度为v3   由：$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}=mgR$
解得：v3=3m∕s
从P1、P2碰撞到P2滑至B点时，设P1及M的速度为v′，由动量守恒得：mv2=（m+M）v′+mv3
解得：v′=0.4 m∕s
对P1、P2、M系统，据能量守恒定律得：$fL=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）v{′}^{2}$
代入数据解得：L=1.9m
答：AB的长度为1.9m．

点评 本题为动量守恒定律及能量关系结合的综合题目，难度较大；要求学生能正确分析过程，并能灵活应用功能关系；合理地选择研究对象及过程；对学生要求较高．

练习册系列答案
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