Question

11．如图所示，光滑的水平面AB与半径为R=0.32 m的光滑竖直半圆轨道BCD在B点相切，D为轨道最高点．用轻质细线连接甲、乙两小球，中间夹一轻质弹簧，弹簧与甲、乙两球不拴接．甲球的质量为m₁=0.1kg，乙球的质量为m₂=0.3kg，甲、乙两球静止在光滑的水平面上．现固定甲球，烧断细线，乙球离开弹簧后进入半圆轨道恰好能通过D点．重力加速度g取10m/s²，甲、乙两球可看作质点．
①试求细线烧断前弹簧的弹性势能；
②若甲球不固定，烧断细线，求乙球离开弹簧后进入半圆轨道能达到的最大高度．

Answer 1

分析 （1）乙球恰好能通过D点，由重力提供向心力，列式求出乙球通过D点时的速度大小．根据机械能守恒可求出烧断细线后瞬间乙球的速度．根据系统的机械能守恒求解细线烧断前弹簧的弹性势能．
（2）若甲球不固定，烧断细线的过程，两球组成的系统动量守恒，机械能也守恒，运用两大守恒定律列式，可求得细线烧断瞬间两球的速度大小，再对乙球，根据机械能守恒求解达到的最大高度．

解答 解：（1）设乙球恰好通过D点的速度为v_D，此时由重力提供向心力，则有：
   m₂g=m₂$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$      
解得：v_D=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{3.2}$m/s
设弹簧的弹性势能E_p，地面为零势能面．由机械能守恒得：
  E_p=m₂g×2R+$\frac{1}{2}$m₂${v}_{D}^{2}$
解得：E_p=0.3×10×2×0.32+$\frac{1}{2}×0.3×$3.2=2.4J
（2）若甲球不固定，取向右方向为正方向．根据甲乙球和弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒得：
  m₂v₂-m₁v₁=0
  E_p=$\frac{1}{2}$m₁${v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}$m₂${v}_{2}^{2}$
对于乙球，由机械能守恒得：
   m₂gh=$\frac{1}{2}$m₂${v}_{2}^{2}$
解得：h=$\frac{5}{8}$R=0.2m，因h＜R，故乙球不会脱离半圆轨道，乙球能达到的最大高度 h=0.2m
答：（1）细线烧断前弹簧的弹性势能是2.4J    
（2）乙球离开弹簧后进入半圆轨道能达到的最大高度是0.2m．

点评 本题考查了求速度、做功问题，分析清楚物体运动过程是正确解题的前提与关键，应用牛顿第二定律、动量守恒定律、能量守恒定律即可正确解题．