题目内容
【题目】如图所示，固定于同一水平面内的光滑、平行长直金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接有定值电阻。粗细和材质均匀的金属杆MN在与其垂直的水平恒力作用下，在导轨上匀速向右运动；金属杆MN始终与导线框形成闭合电路，其长度恰好等于平行轨道的间距，导轨电阻不计。
（1）已知匀强磁场的磁感强度为B，金属杆MN的长度为L，速度为v。
a．请通过法拉第电磁感应定律推导证明，金属杆MN切割磁感线产生的电动势
。
b．请结合电源电动势定义式推导证明，金属杆MN切割磁感线产生的电动势。
（2）已知定值电阻的阻值为R，金属杆MN的电阻为r，水平恒力为F，某段时间内，金属杆MN向右运动距离为x。
a．请结合能量守恒定律，求这段时间内金属杆MN上产生的热量Q；
b．经典物理学认为，在金属导体中，定向移动的自由电子频繁地与金属离子发生碰撞，把定向移动的动能不断传递给金属离子，使金属离子的热振动加剧，因而导体的温度升高。在考虑大量自由电子的统计结果时，电子与金属离子的碰撞结果可视为导体对电子有连续的阻力。
展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子的运动模型，并在此基础上求这段时间内金属杆MN上产生的热量Q。
【答案】（1）a．见解析b．见解析
（2）a．
b． 
【解析】
（1）a、根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势；
b、应用洛伦兹力求出洛伦兹力，由功的计算公式求出功，然后由电动势的定义式求出电动势。
（2）a、应用能量守恒定律与串联电路特点求出产生的热量；
b、应用E=BLv，欧姆定律、洛伦兹力公式与功的计算公式求出产生的热量。
（1）a．在t时间内，金属杆MN的位移
闭合电路面积的变化量是
则穿过闭合电路的磁通量的变化量是
根据法拉第电磁感应定律有
b．金属杆MN切割磁感线时，MN相当于电源，由右手定则可以判断M为正极，N为负极。
因为金属杆MN的运动，自由电子受到沿金属杆方向洛的伦兹力（分力）
的作用，充当非静电力。设自由电子的电荷量为e，则有
。
在自由电子由N定向移动到M的过程中，做的功
，所以导线MN切割磁感线产生的电动势
（2）a．设电阻R上产生的热量为
，根据能量守恒定律有
又因为
所以
b．设磁场的磁感强度为B，金属杆MN的长度为L，则金属杆MN切割磁感线产生的电动势
，所以金属杆MN两端的电势差
金属杆MN中的电场可视为匀强电场，其场强
自由电子在金属杆MN中所受的电场力
因为金属杆MN的运动，自由电子受到沿金属杆方向的洛伦兹力（分力）
因为金属杆中的电流不变，所以可假设自由电子以速度u相对导线做匀速直线运动。假设导体对每个电子的阻力都为f阻。在沿金属杆MN的方向，根据牛顿第二定律有
，即
所以
设MN中自由电荷的数量为N，这段时间为t，则自由电子克服f阻做的总功
因为自由电子以速度u相对导线做匀速直线运动，所以自由电子受到垂直金属杆MN方向的洛伦兹力（分力）
，则有金属杆MN所受的安培力
p
取金属杆MN为研究对象，根据牛顿第二定律有
所以
由题意可知：
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