Question

8．如图所示是位于X星球表面附近的竖直光滑圆弧轨道，宇航员通过实验发现，当小球位于轨道最低点的速度不小于v₀时，就能在竖直面内做完整的圆周运动．已知圆弧轨道半径为r，X星球的半径为R，万有引力常量为G．则（　　）

• A． 环绕X星球的轨道半径为2R的卫星的周期为$\frac{4π}{{v}_{0}}$$\sqrt{Rr}$
• B． X星球的平均密度为$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{10πGRr}$
• C． X星球的第一宇宙速度为v₀$\sqrt{\frac{R}{r}}$
• D． X星球的第一宇宙速度为v₀$\sqrt{\frac{R}{5r}}$

Answer 1

分析 小球刚好能在竖直面内做完整的圆周运动，有重力充当向心力，小球在光滑圆弧轨道运动的过程中，根据动能定理得出重力加速度的大小，根据万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力，联立解出环月卫星的周期，根据万有引力等于重力求出X星球质量，从而求出密度，根据万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力，求第一宇宙速度．

解答 解：A、设X星球表面重力加速度为g，质量为M，小球刚好能做完整的圆周运动；则小球在最高点时，仅由重力提供向心力；根据牛顿第二定律有：
mg=$m\frac{{v}^{2}}{r}$
小球从轨道最高点到最低点的过程中，由动能定理有：
mg•2r=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立两式可得：g=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{5r}$
环绕X星球的轨道半径为2R的卫星由万有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{（2R）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}•2R}{{T}^{2}}$
又$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：T=$\frac{4π}{{v}_{0}}\sqrt{10Rr}$，故A错误；
B、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得：
M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
根据M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$得：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{20πGRr}$，故B错误；
C、X星球的第一宇宙速度为
v=$\sqrt{gR}$=v₀$\sqrt{\frac{R}{5r}}$，故C错误，D正确．
故选：D

点评 解决本题的关键会运用机械能守恒定律定律解题，知道小球在内轨道运动恰好过最高点的临界条件．以及掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力．