Question

6．已知地球半径为R，地球的质量为M，不考虑地球自转的影响．
（1）推导地球的第一宇宙速度的表达式：
（2）某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，若取地球的第一宇宙速度为8km/s，求该行星的第一宇宙速度的大小．

Answer 1

分析 （1）地球的第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，根据万有引力等于向心力列式分析即可；
（2）根据第一问的结论，采用比值法列式求解．

解答 解：（1）第一宇宙速度是在地面附近发射飞行器所需的最小速度，根据万有引力等于向心力，有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：
v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$；
（2）某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，根据v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，有：
$\frac{v}{v_地}=\frac{{\sqrt{\frac{G•6M}{1.5R}}}}{{\sqrt{\frac{GM}{R}}}}=2$
解得：v=2v_地=2×8km/s=16km/s；
答：（1）地球的第一宇宙速度的表达式为v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$；
（2）该行星的第一宇宙速度的大小为16km/s．

点评 本题考查第一宇宙速度，关键是知道其物理意义，利用近地卫星的万有引力等于向心力列式分析．