Question

20．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质里为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平而内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如右图所示．已知握绳的手离地而髙度为d，手与球之间的绳长为$\frac{3}{4}$d，重力加速度为g．忽略手的运动半径和空气阻力．
（1）求绳断时球的速度大小V
（2）问绳能承受的最大拉力多大？
（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，且绳的最大承受力不变，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

Answer 1

分析 （1）绳断后小球做平抛运动，根据平抛运动的规律即可求解绳断时球的速度大小v．
（2）设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小．根据向心力公式即可求解．
（3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v₃，绳承受的最大推力不变，根据圆周运动向心力公式及平抛运动的规律，结合数学知识即可解题．

解答 解：（1）设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有
竖直方向有：$\frac{1}{4}$d=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向有：d=vt
解得：v=$\sqrt{2gd}$
（2）设绳能承受的最大拉力大小为T．球做圆周运动的半径为：
R=$\frac{3}{4}$d
由圆周运动向心力公式，有：
T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：T=$\frac{11}{3}$mg
（3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v₁，绳承受的最大拉力不变，有：T-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{l}$，
得：v₁=$\sqrt{\frac{8}{3}gl}$
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，时间为t₁，有：
d-l=$\frac{1}{2}$gt₁²
x=v₁t₁
得：x=4$\sqrt{\frac{l（d-l）}{3}}$
由数学知识得，当l=$\frac{d}{2}$时，x有最大值，为：
x_max=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d
答：（1）绳断时球的速度大小v是$\sqrt{2gd}$．
（2）绳能承受的最大拉力为$\frac{11}{3}$mg．
（3）要使球抛出的水平距离最大，绳长应为$\frac{d}{2}$，最大水平距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d．

点评 本题关键掌握圆周运动向心力公式及平抛运动的规律的应用．物理上求极值问题，往往根据物理规律得到表达式，再由数学知识求解，这种方法叫函数法．