Question

【题目】在海面上有三艘轮船，船A以速度u向正东方向航行，船B以速度2u 向正北方向航行，船C以速度2u 向东偏北45°方向航行．在某一时刻，船B和C恰好同时经过船A的航线并位于船A的前方，船B到船A的距离为a，船C到船A的距离为2a．若以此时刻作为计算时间的零点，求在t时刻B、C两船间距离的中点M到船A的连线MA绕M 点转动的角速度．

Answer 1

【答案】

【解析】

以t=0时刻船A所在的位置为坐标原点O，作如图1所示平面直角坐标系Oxy，x轴指向正东，y轴指向正北．可以把船C的速度分解成沿正东方向的分速度vx和沿正北方向的分速度vy两个分量．根据题意有

vx＝vy＝2u(1)

在t时刻，三船的位置如图1所示．B、C二船在y方向位移相等，两船的连线BC与x轴平行，两船间的距离

(2)

BC的中点到B点的距离为．中点M的坐标分别为

（3）

（4）

可见M点沿x方向的速度为u，沿y方向的速度为2u，在t=0时刻BC的中点在x轴上，其x坐标为3a/2．

在与M点固连的参考系中考察，并建立以M为原点的直角坐标系Mx'y',x'轴与x轴平行，y'轴与y轴平行，则相对M，船A的速度只有沿负y'方向的分量，有

uAM=uAMy'=-2u(5)

在时刻t，船A在坐标系Mx'y'的坐标为

(6)

(7)

可以把A船的速度分解为沿连线MA方向的分量uAM1和垂直于连线MA方向的分量uAM2两个分量，uAM1使连线MA的长度增大，uAM2使连线MA的方向改变，如图2所示．若用R表示t时刻连线MA的长度，则连线MA绕M点转动的角速度

(8)

若MA与x'轴的夹角为θ，则有

(9)

而（10）

（11）

由（5）到（10）各式得

（12）