Question

11．如图所示，真空玻璃管内，加热的阴极K发出的电子（初速度可忽略不计）经阳极A与阴极K之间的电压形成的加速电场加速后，从阳极A小孔射出，由水平放置的平行正对偏转极板M、N的左端中点以平行于极板的方向射入两极板之间的区域．若M、N两极板间无电压，电子将沿水平直线打在荧光屏上的O点；若在两偏转极板间加电压U₂，形成平行纸面方向的偏转电场，则电子将打在荧光屏上的P点；若再在极板间加方向与纸面垂直、磁感应强度为B的匀强磁场，则电子将能重新打在荧光屏上的O点．已知电子质量为m，电荷量为e，M、N两偏转极板长均为L₁、两板间距离为d，偏转极板右端到荧光屏的距离为L₂．
（1）求阳极A与阴极K之间所加的加速电压U₁的大小；
（2）求荧光屏上的P点与O点间沿垂直偏转极板方向的距离；
（3）示波器中的示波管与图所示的装置类似，在示波器中用电子打在荧光屏上的位置P点与荧光屏中心O点沿垂直偏转极板方向的距离，跟此时偏转极板间所加电压U₂的比值，表示示波器的灵敏度，试讨论阳极A与阴极K之间所加的加速电压U₁对灵敏度的影响．

Answer 1

分析 （1）根据再在极板间加方向与纸面垂直、磁感应强度为B的匀强磁场，电子将能重新打在荧光屏上的O点，知电子在电磁场中做匀速直线运动，洛伦兹力等于电场力，由此列式求得电子的速度．再研究加速过程，由动能定理求加速电压U₁的大小；
（2）电子进入偏转极板间时做类平抛运动，根据牛顿第二定律求得加速度，再由分位移公式求P点与O点间沿垂直偏转极板方向的距离；
（3）根据灵敏度的概念，列出表达式，再分析阳极A与阴极K之间所加的加速电压U₁对灵敏度的影响．

解答 解：（1）当在极板间加方向与纸面垂直、磁感应强度为B的匀强磁场时，电子在电磁场中做匀速直线运动，洛伦兹力等于电场力，则有：
evB=e$\frac{{U}_{2}}{d}$
电子在加速电场中运动过程，由动能定理得：
eU₁=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
可得：v=$\frac{{U}_{2}}{Bd}$，U₁=$\frac{mU_2^2}{{2e{d^2}{B^2}}}$；
（2）设电子离开偏转电场时沿垂直偏转极板方向偏转的距离为y，P点与O点间沿垂直偏转极板方向的距离为Y．
电子在偏转极板间做类平抛运动，则加速度为：
a=$\frac{e{U}_{2}}{md}$
由分位移公式有：
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，L₁=vt
电子离开偏转电场后做匀速直线运动，由三角形相似法得：
$\frac{y}{Y}$=$\frac{\frac{1}{2}{L}_{1}}{\frac{1}{2}{L}_{1}+{L}_{2}}$
联立解得：Y=$\frac{{{L_1}ed{B^2}}}{{m{U_2}}}（{L_2}+\frac{L_1}{2}）$；
（3）上题中 v=$\sqrt{\frac{2e{U}_{1}}{m}}$，由a=$\frac{e{U}_{2}}{md}$，y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，L₁=vt得：y=$\frac{{U}_{2}{L}_{1}^{2}}{4{U}_{1}d}$
可得：Y=$\frac{{L}_{1}+2{L}_{2}}{{L}_{1}}$•$\frac{{U}_{2}{L}_{1}^{2}}{4{U}_{1}d}$
由题得：$\frac{Y}{{U}_{2}}$=$\frac{{L}_{1}+2{L}_{2}}{{L}_{1}}$•$\frac{{L}_{1}^{2}}{4{U}_{1}d}$
所以灵敏度与U₁成反比
答：（1）阳极A与阴极K之间所加的加速电压U₁的大小为$\frac{mU_2^2}{{2e{d^2}{B^2}}}$；
（2）荧光屏上的P点与O点间沿垂直偏转极板方向的距离为$\frac{{{L_1}ed{B^2}}}{{m{U_2}}}（{L_2}+\frac{L_1}{2}）$；
（3）灵敏度与U₁成反比．

点评 本题的关键是要掌握类平抛运动的处理方法：将类平抛运动分解成两个相互垂直的直线运动，根据牛顿第二定律、运动学规律和几何关系进行研究．