题目内容

18．如图，带等量异种电荷的金属板平行正对倾斜放置，金属板与水平方向的夹角为θ，金属板长为L，一电荷量为q、质量为m的带负点微粒从下板边缘的A点以水平速度v0进入两板间，沿直线到达上板边缘的B点，随即进入一圆形区域．圆形区域与金属板间电场不重叠，该区域内有重叠的匀强电场和匀强磁场（图中电场未画出），微粒在此区域内做匀速圆周运动，并竖直向下穿出该区域．已知区域内匀强磁场的磁感应强度为B，重力加速度为g，试求：
（1）微粒进入圆形区域时的速度v；
（2）圆形区域内匀强电场的场强E的大小和方向；
（3）微粒在圆形区域做匀速圆周运动的时间t；
（4）在圆形区域的运动过程中，微粒机械能的变化量△E．

分析 （1）微粒受电场力和重力作用下沿AB匀加速运动，根据运动学规律求解微粒进入圆形区域的速度大小；
（2）微粒在圆形区域内匀速圆周运动，微粒所受合力提供圆周运动向心力，故可知微粒所受重力与电场力平衡，洛伦兹力提供圆周运动向心力，据此求电场强度的大小和方向；
（3）根据粒子圆周运动由速度方向的变化确定圆周运动转过的圆心角，根据周期求得粒子运动的时间；
（4）由微粒圆周运动的轨迹求得微粒竖直方向下落的高度，运动过程中只有电场力做功和重力做功，故机械能的减小量等于电场力对微粒所做的功．

解答 解：（1）微粒在平行板间做匀加速直线运动
mgtanθ=ma
根据运动学公式有：
$2a{x}_{AB}={v}^{2}-{v}_{0}^{2}$
由图可知，${x}_{AB}=\frac{L}{cosθ}$
可得微粒进入圆形区域的速度v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2gLsinθ}{co{s}^{2}θ}}$
（2）微粒在磁场中做匀速圆周运动，有电场力和重力平衡
qE=mg
可得电场强度E=$\frac{mg}{q}$，因为微粒带负电，所以场强的方向竖直向下；
（3）微粒做匀速圆周运动的周期$T=\frac{2πm}{qB}$
微粒在磁场运动转过圆心角$θ=\frac{π}{2}$
所以微粒在磁场中运动的时间t=$\frac{θ}{2π}T=\frac{\frac{π}{2}}{2π}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{2qB}$
（4）粒子机械能的减少量
△E=-qEh
根据粒子在磁场中运动轨迹可知，微粒下落距离h=R
根据洛伦兹力提供圆周运动向心力有
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得微粒损失的机械能
△E=$-\frac{{m}^{2}g\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2gLsinθ}{co{s}^{2}θ}}}{qB}$
答：（1）微粒进入圆形区域时的速度v为$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2gLsinθ}{co{s}^{2}θ}}$；
（2）圆形区域内匀强电场的场强E的大小为$\frac{mg}{q}$方向竖直向下；
（3）微粒在圆形区域做匀速圆周运动的时间t为$\frac{πm}{2qB}$；
（4）在圆形区域的运动过程中，微粒机械能的变化量△E为$-\frac{{m}^{2}g\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2gLsinθ}{co{s}^{2}θ}}}{qB}$．

点评 本题考查了带电粒子在复合场中的运动，画出运动轨迹是正确解题的前提，并熟练掌握周期公式和半径公式是解题的关键．

练习册系列答案
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