Question

4．如图，长度S=2m的粗糙水平面MN的左端M处有一固定挡板，右端N处与水平传送带平滑连接．传送带以一定速率v逆时针转动，其上表面NQ间距离为L=3m．可视为质点的物块A和B紧靠在一起并静止于N处，质量m_A=m_B=1kg．A、B在足够大的内力作用下突然分离，并分别向左、右运动，分离过程共有能量E=9J转化为A、B的动能．设A、B与传送带和水平面MN间的动摩擦因数均为μ=0.2，与挡板碰撞均无机械能损失．取重力加速度g=10m/s²，求：
（1）分开瞬间A、B的速度大小；
（2）B向右滑动距N的最远距离；
（3）要使A、B不能再次相遇，传送带速率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据动量守恒定律和能量守恒定律求出分开瞬间A、B的速度大小；
（2）根据动能定理求出B向右滑动的最大距离；
（3）根据动能定理求出A滑行的路程，确定其停止的位置，抓住A、B不能相撞求出B离开传送带的速度．

解答 解：（1）设A、B分开时速度大小分别为v_A、v_B
由A、B系统能量守恒有：$E=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}$…①
由A、B系统动量守恒有：m_Av_A=m_Bv_B…②
联立解得：v_A=v_B=3m/s…③
（2）假设B不能从传送带Q端离开，且在传送带上运行最大对地位移为s₂，
由动能定理得：$-μ{m}_{B}g{s}_{2}=0-\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}$…④
解得：s₂=2.25m…⑤
由题意可知s₂＜L=3m，假设成立…⑥
所以B沿传送带向右滑动距N的最远距离为2.25m
（3）设A在水平面上开始向左运动到停止，滑动过的路程为s₁，
由题意知A与挡板碰撞后原速率返回，整个过程应用动能定理得
$-μ{m}_{A}g{s}_{1}=0-\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}$…⑦
解得：s₁=2.25m＞s=2m，即A停在距M端0.25m处，即距N端1.75m；…⑧
若AB不能再次相遇，设B返回到N端时速度大小为v_B′，后经s₂′距离停下，
则由动能定理有$-μ{m}_{B}g{s}_{2}′=0-\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}{′}^{2}$…⑨
由s₂′＜1.75m，解得${v}_{B}′=\sqrt{7}m/s$…⑩
由题意可知不论传送带速率多大，v_B′至多到3m/s，即⑩符合题意，
即传送带的速率取值范围是：$0＜v＜\sqrt{7}m/s$．
答：（1）分开瞬间A、B的速度大小均为3m/s；
（2）B向右滑动距N的最远距离为2.25m；
（3）要使A、B不能再次相遇，传送带速率的取值范围是$0＜v＜\sqrt{7}m/s$．

点评 本题考查了动能定理、动量守恒定律以及能量守恒定律的综合运用，理清A、B在整个过程中的运动规律，抓住不相撞临界情况，选择合适的规律进行求解．